【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E滿足EB=EC,EA=ED,∠BEC=∠AED=90°,AC交DE于點(diǎn)F,交BD于點(diǎn)G.
(1)∠AGB的度數(shù)為
(2)若四邊形AECD是平行四邊形
①求證:AC=AB
②若AE=2,求AF·CG的值
【答案】(1)90°;(2)①見解析,②AFCG= 4.
【解析】
(1)先利用SAS證明△BED≌△CEA,得∠DBE=∠ACE,由∠BHE=∠CHG,得到∠HGC=∠BEH=90°,從而∠AGB=90°;
(2)①由(1)可知△BED≌△CEA,得BD=CA,由平行四邊形AECD,得AE=CD=DE,∠AED=∠EDC=90°,從而∠CED=45°,∠BED=135°,利用周角得到∠BEA=135°,可證△BAE≌△BDE,得到BD=BA,從而AC=AB;
②由①可知,△CAE≌△BAE,得∠BAE=∠EAC=∠BDE,由∠EAC+∠AFE=90°,∠GFD=∠AFE,得∠GFD+∠BDE=90°,從而∠CGD=90°,可證△CGD∽△AEF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=,由AE=4,從而得解.
解:(1)∵∠BEC=∠AED=90°,
∴∠BED=∠CEA,
又∵BE=EC,EA=ED,
∴△BED≌△CEA,
∴∠DBE=∠ACE,
又∵∠BHE=∠CHG,
∴∠HGC=∠BEH=90°,
∴∠AGB=90°;
(2)①∵四邊形AECD是平行四邊形,
∴∠AED=∠EDC=90°,AE=CD,
∵△ADE是等腰直角三角形,
∴AE=ED,∴ED=CD,
∴∠CED=45°,
∴∠BED=90°+45°=135°,
∵∠AED=∠BEC=90°,
∴∠AEB=360°-90°-90°-45°=135°,又EB=EB,ED=EA,
∴△BAE≌△BDE(SAS),
∴DB=AB;
∵∠BEC=∠AED=90°,
∴∠BED=∠CEA,
∵EB=EC,EA=ED,
∴△BED≌△CEA,
∴BD=CA,
∴AC=AB.
②∵△BAE≌△BDE,
∴△CAE≌△BAE,
∴∠BAE=∠CAE=∠BDE,
∵∠EAF+∠AFE=90°,
∴∠AFE+∠BAE=90°,
∵∠GFD=∠AFE,∠EDB=∠EAB,
∴∠EDB+∠GFD=90°,
∴∠CGD=90°,
∵∠FAE=90°,∠GCD=∠AEF,
∴△CGD∽△AEF,
∴=,
∴AFCG=CDAE=4.
故答案為(1)90°;(2)①見解析,②4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,如圖1,四邊形DEFG為△ABC的內(nèi)接正方形,則正方形DEFG的邊長為_____.如圖2,若三角形ABC內(nèi)有并排的n個全等的正方形,它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC,則正方形的邊長為_____.
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【題目】一驢友分三次從地出發(fā)沿著不同線路(線、線、線)去地,在每條線路上行進(jìn)的方式都分為穿越叢林、涉水行走和攀登這三種.他涉水行走4小時的路程與攀登6小時的路程相等;線、線路程相等,都比線路程多;線總時間等于線總時間的一半;他用了3小時穿越叢林、2小時涉水行走和2小時攀登走完線;在線中穿越叢林、涉水行走和攀登所用時間分別比線上升了.若他用了小時穿越叢林、小時涉水行走和小時攀登走完線,且都為正整數(shù),則_____.
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【題目】為了美化環(huán)境,建設(shè)宜居成都,我市準(zhǔn)備在一個廣場上種植甲、乙兩種花卉.經(jīng)市場調(diào)查,甲種花卉的種植費(fèi)用(元)與種植面積之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,乙種花卉的種植費(fèi)用為每平方米100元.
(1)直接寫出當(dāng)和時,與的函數(shù)關(guān)系式;
(2)廣場上甲、乙兩種花卉的種植面積共,若甲種花卉的種植面積不少于,且不超過乙種花卉種植面積的2倍,那么應(yīng)該怎樣分配甲、乙兩種花卉的種植面積才能使種植費(fèi)用最少?最少總費(fèi)用為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格圖中有格點(diǎn)△ABC(注:頂點(diǎn)在網(wǎng)格線交點(diǎn)處的三角形叫做格點(diǎn)三角形).只用沒有刻度的直尺,按如下要求畫圖,
(1)以點(diǎn)C為位似中心,在如圖中作△DEC∽ABC,且相似比為1:2;
(2)若點(diǎn)B為原點(diǎn),點(diǎn)C(4,0),請在如圖中畫出平面直角坐標(biāo)系,作出△ABC的外心,并直接寫出△ABC的外心的坐標(biāo)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是作一個角的角平分線的方法:以的頂點(diǎn)為圓心,以任意長為半徑畫弧,分別交于兩點(diǎn),再分別以為圓心,大于長為半徑作畫弧,兩條弧交于點(diǎn),作射線,過點(diǎn)作交于點(diǎn).
(1)若,求的度數(shù);
(2)若,垂足為,求證: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①所示,已知正方形ABCD和正方形AEFG,連接DG,BE.
(1)發(fā)現(xiàn):當(dāng)正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),如圖②所示.
①線段DG與BE之間的數(shù)量關(guān)系是 ;
②直線DG與直線BE之間的位置關(guān)系是 ;
(2)探究:如圖③所示,若四邊形ABCD與四邊形AEFG都為矩形,且AD=2AB,AG=2AE時,上述結(jié)論是否成立,并說明理由.
(3)應(yīng)用:在(2)的情況下,連接BG、DE,若AE=1,AB=2,求BG2+DE2的值(直接寫出結(jié)果).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 是等邊三角形內(nèi)一點(diǎn),將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段,連接.若,則四邊形的面積為____.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,點(diǎn)E是AD上一個動點(diǎn),把△BAE沿BE向矩形內(nèi)部折疊,當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1恰好落在∠BCD 的平分線上時,CA1的長為( )
A、3或4 B、4或3 C、3或4 D、3或4
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