Question

如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點(diǎn)P，過點(diǎn)B的直線交OP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，且CP=CB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為，OP=1，求BC的長(zhǎng)．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）2．

【解析】

試題分析：（1）由垂直定義得∠A+∠APO=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠CPB=∠APO，即∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，得∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到BC是⊙O的切線.

（2）設(shè)BC=x，則PC=x，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得到（）2+x2=（x+1）2，然后解方程即可．

試題解析：【解析】
（1）證明：如答圖，連接OB，

∵OP⊥OA，∴∠AOP=90°.∴∠A+∠APO=90°.

∵CP=CB，∴∠CBP=∠CPB.

∵∠CPB=∠APO，∴∠APO=∠CBP.

∵OA=OB，∴∠A=∠OBA.∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°.∴OB⊥BC.∴BC是⊙O的切線.

（2）設(shè)BC=x，則PC=x，

在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1，

∵OB2+BC2=OC2，∴（）2+x2=（x+1）2，解得x=2.

∴BC的長(zhǎng)為2．

考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.切線的判定；3.勾股定理．