Question

如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，設(shè)過點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D．

（1）如圖1，已知點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；

①求此拋物線的表達(dá)式與點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)M為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，求△BDM面積的最大值；

（2）如圖2，若a=1，求證：無論b，c取何值，點(diǎn)D均為定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

 

 

Answer 1

（1）①，D（0，4）；②36；（2）證明見解析，（0，1）．

【解析】

試題分析：（1）①利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；利用勾股定理的逆定理證明∠ACB=90°，由圓周角定理得AB為圓的直徑，再由垂徑定理知點(diǎn)C、D關(guān)于AB對稱，由此得出點(diǎn)D的坐標(biāo).

②求出△BDM面積的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.

（2）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、根與系數(shù)的關(guān)系、相似三角形求解．

試題解析：【解析】
（1）①∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（﹣2，0），B（8，0），

∴可設(shè)拋物線解析式為.

∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)C（0，﹣4），

∴，解得.

∴拋物線的解析式為：，即.

∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．

如答圖1，連接AC、BC．

由勾股定理得：AC=，BC=．

∵AC2+BC2=AB2=100，

∴∠ACB=90°.∴AB為圓的直徑．

由垂徑定理可知，點(diǎn)C、D關(guān)于直徑AB對稱，∴D（0，4）．

②設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，

∵B（8，0），D（0，4），∴，解得.∴直線BD解析式為：．

設(shè)M（x，），

如答圖2，過點(diǎn)M作ME∥y軸，交BD于點(diǎn)E，則E（x，）．

∴ME=．

∴S△BDM=S△MED+S△MEB=ME（xE﹣xD）+ME（xB﹣xD）=ME（xB﹣xD）=4ME.

∴S△BDM=

∴當(dāng)x=2時(shí)，△BDM的面積有最大值為36.

（2）證明：如答圖3，連接AD、BC．

由圓周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，

∴△AOD∽△COB.∴.

設(shè)A（x1，0），B（x2，0），

∵已知拋物線y=x2+bx+c（c＜0），∴OC=﹣c，x1x2=c.

∴.∴.

∴無論b，c取何值，點(diǎn)D均為定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)D（0，1）．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)綜合題；2.單動(dòng)點(diǎn)問題；3.待定系數(shù)法的應(yīng)用；4.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.勾股定理和逆定理；6.二次函數(shù)的性質(zhì)；7.圓周角定理和垂徑定理；8.相似三角形的判定和性質(zhì)；9.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．.