Question

如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）．求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a₁，a₂，…，a_n，滿足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m，在a₁，a₂，…，a_n中都至少有一個(gè)為m的魔術(shù)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽屜原理

專題：

分析：首先分n≤6和n≥7兩種情況探討，根據(jù)被7除的余數(shù)有0、1、2、3、4、5、6，利用余數(shù)差的特征分析探討即可．

解答：解：若n≤6，取m=1，2，…，7，
根據(jù)抽屜原理知，必有a₁，a₂，…，a_n中的一個(gè)正整數(shù)M是i，
j（1≤i＜j≤7）的公共的魔術(shù)數(shù)，即7|（10M+i），7|（10M+j）．
則有7|（j-i），但0＜j-i≤6，矛盾．
故n≥7．
又當(dāng)a₁，a₂，…，a_n為1，2，…，7時(shí)，對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m，設(shè)其為k位數(shù)（k為正整數(shù)）．
則10^ki+m（i=1，2，…，7）被7除的余數(shù)兩兩不同．
若不然，存在正整數(shù)i，j（1≤i＜j≤7），滿足7|[（10^kj+m）-（10^ki+m）]，即7|10^k（j-i），從而7|（j-i），矛盾．
故必存在一個(gè)正整數(shù)i（1≤i≤7），使得7|（10^ki+m），即i為m的魔術(shù)數(shù)．
故n的最小值為7．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查抽屜原理的實(shí)際運(yùn)用，利用被一個(gè)數(shù)除的余數(shù)的特點(diǎn)，建立抽屜解決問(wèn)題．