Question

如圖，已知正方形ABCD中，點O為邊AB上一點，以O(shè)為圓心，OB的長為半徑的⊙O交邊AD于點E，過點O作BE的垂線交邊BC的延長線于點F，連接EF交CD于點G，再連接BG．
（1）求證：∠EBG=45°；
（2）若DE=2AE，求tan∠DEF的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：證明題

分析：（1）作BH⊥EF于H，連結(jié)OE，由OF⊥BE，根據(jù)垂徑定理得OF平分BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠FOE=∠FOB，則可利用“SAS”判斷△FOB≌△FOE，則∠OBF=∠OEF=90°，于是得到OE∥BH，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠2=∠5，再證明出∠1=∠2，易證得Rt△BAE≌Rt△BHE，得到∠3=∠4，利用∠1+∠2+∠3+∠4=90°得到∠2+∠3=45°；
（2）設(shè)AE=a，則DE=2a，AB=3a，在Rt△AOE中，OE=OB=3a-OA，然后根據(jù)勾股定理可得到OA=

4

3

a，再根據(jù)正切的定義得到tan∠7=

3

4

，由OE∥BH得到∠OEG=90°，然后根據(jù)等角的余角相等得到∠7=∠8，所以tan∠8=

3

4

．

解答：（1）證明：作BH⊥EF于H，連結(jié)OE，如圖，
∵OF⊥BE，
∴OF平分BE，
∴OF為等腰三角形OBE的頂角的平分線，即∠FOE=∠FOB，
在△FOB和△FOE中，

OB=OE ∠BOF=∠EOF OF=OF

，
∴△FOB≌△FOE（SAS），
∴∠OBF=∠OEF=90°，
∴OE∥BH，
∴∠2=∠5，
∵OE=OB，
∴∠1=∠5，
∴∠1=∠2，
在Rt△BAE和Rt△BHE中

∠1=∠2 ∠A=∠BHE BE=BE

，
∴Rt△BAE≌Rt△BHE（AAS），
∴BA=BH，
而BA=BC，
∴BH=BC，
在Rt△BGH和Rt△BGC中

BG=BG BH=BC

，
∴Rt△BGH≌Rt△BGC（HL），
∴∠3=∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠2+∠3=45°，
即∠EBG=45°；
（2）解：設(shè)AE=a，則DE=2a，AB=3a，
在Rt△AOE中，OE=OB=3a-OA，
∵OA²+AE²=OE²，
∴OA²+a²=（3a-OA）²，
∴OA=

4

3

a，
∴tan∠7=

AE

AO

=

a

4 3 a

=

3

4

，
又∵OE∥BH，
∴∠OEG=90°，
∴∠6+∠8=90°，
而∠6+∠7=90°，
∴∠7=∠8，
∴tan∠8=

3

4

，
即tan∠DEF=

3

4

．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)；會運用三角形全等證明線段相等．