Question

【題目】如圖，已知∠MON=120°，點(diǎn)A，B分別在OM，ON上，且OA=OB=，將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OM′，旋轉(zhuǎn)角為α（且），作點(diǎn)A關(guān)于直線OM′的對(duì)稱點(diǎn)C，畫直線BC交于OM′與點(diǎn)D，連接AC，AD．有下列結(jié)論：

有下列結(jié)論：

①∠BDO + ∠ACD = 90°；

②∠ACB 的大小不會(huì)隨著的變化而變化；

③當(dāng) 時(shí)，四邊形OADC為正方形；

④面積的最大值為．

其中正確的是________________．(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分可得：OM′是AC的垂直平分線，即可作判斷；
②作⊙O，根據(jù)四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得：∠ACD＝∠E＝60°，說明∠ACB是定值，不會(huì)隨著α的變化而變化；
③當(dāng)α＝30°時(shí)，即∠AOD＝∠COD＝30°，證明△AOC是等邊三角形和△ACD是等邊三角形，得OC＝OA＝AD＝CD，可作判斷；
④先證明△ACD是等邊三角形，當(dāng)AC最大時(shí)，△ACD的面積最大，當(dāng)AC為直徑時(shí)最大，根據(jù)面積公式計(jì)算后可作判斷．

解：①∵A、C關(guān)于直線O M′對(duì)稱，
∴O M′是AC的垂直平分線，

∴∠BDO + ∠ACD = 90°，故①正確；
②連接OC，
由①知：O M′是AC的垂直平分線，
∴OC＝OA，
∴OA＝OB＝OC，
以O為圓心，以OA為半徑作⊙O，交AO的延長(zhǎng)線于E，連接BE，則A、B、C、E都在⊙O上，
∵∠MON＝120°，

∴∠E＝∠MON =60°，
∵A、C、B、E四點(diǎn)共圓，
∴∠ACB＝180°-∠E＝120°，故②正確；

③當(dāng)α＝30°時(shí)，即∠AOD＝∠COD＝30°，
∴∠AOC＝60°，

∵OA=OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠OAC＝60°，OC＝OA＝AC，
由①得：CD＝AD，

由②可知，∠ACB=120°，

∴∠ACD=60°，
∴∠CAD＝∠ACD＝∠CDA＝60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AC＝AD＝CD，
∴OC＝OA＝AD＝CD，
∴四邊形OADC為菱形；故③不正確；
④∵CD＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等邊三角形，
當(dāng)AC最大時(shí)，△ACD的面積最大，
∵AC是⊙O的弦，當(dāng)時(shí)，AC為直徑時(shí)最大，此時(shí)AC＝2a，
S△ACD＝，故④正確，
所以本題結(jié)論正確的有：①②④，
故答案為：①②④．