Question

【題目】設(shè)是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式的實(shí)數(shù)的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為．對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量與函數(shù)值滿足：當(dāng)時(shí)，有，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”．如函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，有，所以說函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”

（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”嗎?請(qǐng)判斷并說明理由；

（2）若二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求的值；

（3）若一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的表達(dá)式(可用含的代數(shù)式表示)．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1,2019]上的“閉函數(shù)”，理由見解析；（2）；（3）或

【解析】

（1）由k＞0可知反比例函數(shù)在閉區(qū)間[1，2019]上y隨x的增大而減小，然后將x＝1，x＝2019分別代入反比例解析式的解析式，從而可求得y的范圍，于是可做出判斷；

（2）先求得二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝3，a＝1＞0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知在閉區(qū)間上y隨x的增大而增大，然后將x＝3，y＝3，x＝4，y＝4分別代入二次函數(shù)的解析式，從而可求得k的值；

（3）當(dāng)k＞0時(shí)，將（m，m）、（n，n）代入直線的解析式得到關(guān)于k、b的方程組，從而可求得k＝1、b＝0，故此函數(shù)的表達(dá)式為y＝x；當(dāng)k＜0時(shí)，將（m，n）、（n，m）代入直線的解析式得到關(guān)于k、b的方程組，從而可求得k＝1、b＝m＋n的值，從而可求得函數(shù)的表達(dá)式．

(1)反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1,2019]上的“閉函數(shù)”

理由如下

反比例函數(shù)在第一象限，隨的增大而減小，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，,

即圖象過點(diǎn)(1,2019)和(2019,1)

當(dāng)時(shí)，有，符合閉函數(shù)的定義，

反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2019]上的“閉函數(shù)”

(2)由于二次函數(shù)的圖象開口向上,對(duì)稱軸為,

二次函數(shù)在閉區(qū)間[3,4]內(nèi)，隨的增大而增大

當(dāng)時(shí)，,

當(dāng)時(shí)，,

即圖象過點(diǎn)(3,3)和(4,4)

當(dāng)時(shí)，有，符合閉函數(shù)的定義，

(3)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，

根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，有

①當(dāng)時(shí)，即圖象過點(diǎn)和

，解得.

②當(dāng)時(shí)，即圖象過點(diǎn)和,

解得

∴直線解析式為

綜上所述，當(dāng)k＞0時(shí)，直線的解析式為y＝x，當(dāng)k＜0，直線的解析式為y＝x＋m＋n．