【題目】如圖,在△ABC 中,∠A=∠B=30°,E,F AB 上,∠ECF=60°.

(1)畫出△BCF 繞點 C 順時針旋轉 120°后的△ACK;

(2)在(1)中,若 AE2+ EF2= BF2,求證 BF= CF.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析.

【解析】

(1)旋轉后CBCA重合,作∠KCA=∠FCB,截取KC=FC即可;(2)連結KE,作KH⊥ACH,先得到∠ACE+∠BCF=60°,再根據(jù)旋轉的性質得BF=AK,∠KCA=∠FCB,CK=CF,∠KAC=∠B=30°,則∠KCE=∠FCE,可根據(jù)“SAS”判斷△CKE≌△CFE,所以KE=EF,由于AE2+EF2=BF2,則AE2+KE2=AK2,根據(jù)勾股定理的逆定理得∠AEK=90°,且∠KEC=∠FEC=45°,可計算∠BCF=45°,設KH=a,在Rt△KHC中可得KC=a;在Rt△KHA中得AK=2a,所以AK:KC=2a:a=,則BF:CF=,由此即可得結論.

(1)如圖,

(2)證明:連結KE,作KH⊥ACH,如圖,

∵∠A=∠B=30°,∠MCN=60°,

∴∠ACB=120°,

∴∠ACE+∠BCF=60°,

∵△BCF繞點C順時針旋轉120゜后的△ACK,

∴BF=AK,∠KCA=∠FCB,CK=CF,∠KAC=∠B=30°,

∴∠KCE=∠KCA+∠ACE=∠FCB+∠ACE=60°,

∴∠KCE=∠FCE,

在△CKE和△CFE中,

,

∴△CKE≌△CFE,

∴KE=EF,∠KEC=∠FEC,

∵AE2+EF2=BF2,

∴AE2+KE2=AK2,

∴△AEK為直角三角形,

∴∠AEK=90°,

∴∠KEC=∠FEC=45°,

∴∠BCF=180°-45°-60°-30°=45°,

∴∠KCA=45°,

KH=a,在Rt△KHC中,KC=a;

Rt△KHA中,∠KAC =30°,

∴AK=2a,

∴AK:KC=2a:a=,

∴BF:CF=

BF=CF.

練習冊系列答案
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85

80

75

80

90

73

83

79

90

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