Question

已知拋物線y=-x²+

7

2

x+2與直線y=

1

2

x+2相交于點(diǎn)C和D，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，交CD于點(diǎn)F．
（1）求點(diǎn)C和D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）如果以P、C、O、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）解拋物線和直線的解析式組成的方程組即可；
（2）令y=0，解一元二次方程即可；
（3）若四邊形PCOF是平行四邊形，則PF=OC=2，先化簡(jiǎn)題意表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²+

7

2

m+2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，

1

2

m+2），然后分兩種情況討論求得；

解答：解：（1）解

y=-x2+ 7 2 x+2 y= 1 2 x+2

則-x2+

7

2

x+2=

1

2

x+2，
整理得，x²-3x=0，解得x₁=0，x₂=3，
∴

x1=0 y1=2

，

x2=3 y2= 7 2

．
∴所求的點(diǎn)的坐標(biāo)是C（0，2）和D（3，

7

2

）；                       

（2）令y=0，則-x2+

7

2

x+2=0，
解得，x1=-

1

2

，x₂=4，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

2

，0），（4，0）；

（3）若四邊形PCOF是平行四邊形，則PF=OC=2，
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²+

7

2

m+2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，

1

2

m+2），
當(dāng)0＜m＜3時(shí)，PF=（-m²+

7

2

m+2）-（

1

2

m+2），
∴-m²+3m=2，m²-3m+2=0，m₁=1，m₂=2；                 
當(dāng)3＜p＜4時(shí)，PF=（

1

2

m+2）-（-m²+

7

2

m+2），
∴m²-3m=2，m²-3m-2=0，m₃=

3+ 17

2

，m₄=

3- 17

2

（舍去）．    
∴如果以P、C、O、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則m的值為1、2或

3+ 17

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)以及拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，平行四邊形的和性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)和方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．