Question

如圖，AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，∠BAC的平分線交⊙O于點D，DE⊥AC于點E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）連接OE交AD于點F，連接BD．若cos∠BAC=

4

5

，求

OF

BD

的值．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OD，構(gòu)建等腰△AOD，然后結(jié)合已知條件∠BAC的平分線AD，得到OD∥AE可得結(jié)論．
（2）過D作DH⊥AB于H，設(shè)OD=5x，則AB=10x，OH=4x，則AH=9x，DH=3x，由△AOF∽△ADB推出結(jié)果．

解答：（1）證明：如圖，連接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC．
∴OD∥AE．
又∵AE⊥DE，
∴DE⊥OD，
又∵OD為⊙O的半徑，
∴DE是的⊙O切線．

（2）∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°．
如圖，過D作DH⊥AB于H．
由（1）知，OD∥AE，
∴∠DOH=∠BAC，
∴cos∠DOH=cos∠BAC，即

OH

OD

=

AC

AB

=

4

5

．
設(shè)OD=5x，則AB=10x，OH=4x，
∴AH=9x，DH=3x，
∴AD=

AH2+DH2

=3

10

x，
由△AOF∽△ADB可得

OF

DB

=

AO

AD

，即

OF

DB

=

5x

3 10 x

=

10

6

．

點評：本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題過程中，輔助線的作法是解題關(guān)鍵，本題是難題．