Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t= 秒時(shí)，則OP= ， S△ABP=；
（2）當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，求t的值；
（3）如圖2，當(dāng)AP=AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ·BP=3．為了證明AQ·BP=3，小華同學(xué)嘗試過(guò)O點(diǎn)作OE∥AP交BP于點(diǎn)E．試?yán)�用小華同學(xué)給我們的啟發(fā)補(bǔ)全圖形并證明AQ·BP=3．

Answer 1

【答案】
（1）1,
（2）解：①∵∠A＜∠BOC=60°，

∴∠A不可能是直角．

②如備用圖，當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，

∵∠BOC=60°，

∴∠OPB=30°．

∴OP=2OB，即2t=2．

∴t=1；

③當(dāng)∠APB=90°，如圖1，

OP=2t，OH=t，PH= t，AH=2+t，HB=1-t，

∵∠APH+∠BPH=90°，∠B+∠BPH=90°，

∴∠APH=∠B．

∴△APH∽△PBH．

∴ ，即 ，

整理得4t2+t-2=0，

解得t1= ，t2= （舍去）

（3）解: 補(bǔ)全圖形，如圖，

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B．

∵OE∥AP，

∴∠OEB=∠APB=∠B．

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180°．

∵∠OEP+∠OEB=180°，

∴∠OEP=∠QAB．

又∵∠AOC=∠OPB+∠B=∠AOQ+∠QOP，

∵∠B=∠QOP，

∴∠AOQ=∠OPB．

∴△QAO∽△OEP．

∴ ，即AQEP=EOAO．

∵OE∥AP，

∴△OBE∽△ABP．

∴ ．

∴OE= AP=1，BP= EP．

∴AQBP=AQ EP= AOOE= ×2×1=3．

【解析】解：（1）作PH⊥AB于H，

∵動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā)，

∴當(dāng)t= 秒時(shí)，則OP=1，

∵∠BOC=60°，OP=1，

∴PH=OP×sin60°= ，

∴S△ABP= ×AB×PH= ，

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方，以及對(duì)解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．