Question

如圖，在銳角△ABC中，AD⊥BC，BC=AD=4，P是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，正方形PQRS是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的動(dòng)正方形，其中Q點(diǎn)在AC上，PQ∥BC，（RS與A分居PQ的兩側(cè)），正方形PQRS與△ABC的重疊的面積為y．
（1）當(dāng)RS落在BC上時(shí)，求x的值；
（2）當(dāng)RS不在BC上時(shí)，求y與x的關(guān)系式；
（3）求y的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）當(dāng)RS落在BC上時(shí)，先求△ABC的BC邊上的高，由△APQ∽△ABC，利用相似比求x；
（2）分兩種情況，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，正方形面積即為公共部分面積；當(dāng)2＜x≤4時(shí)，由相似得公共部分的長(zhǎng)、寬，表示面積，
（3）根據(jù)所求函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合自變量取值范圍分別求最大值，比較得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴

PQ

BC

=

AE

AD

，即

x

4

=

4-x

4

，
解得x=2；

（2）分兩種情況：
�。�當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y=x²；
ⅱ．當(dāng)2＜x≤4時(shí)，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴

PQ

BC

=

AE

AD

，即

x

4

=

AE

4

，
解得AE=x，DE=4-x，
∴y=PQ•DE=x（4-x）=-x²+4x，
故y=

x2(0＜x＜2) -x2+4x(2＜x≤4)

；

（3）①當(dāng)RS落在△ABC外部時(shí)，y=-x²+4x=-（x-2）²+4（2＜x≤4），
∵當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值4，
∴y＜4；
②當(dāng)RS落在BC邊上時(shí)，由x=2可知，y=4，
③當(dāng)RS落在△ABC內(nèi)部時(shí)，y=x²＜4（0＜x＜2），
故比較以上三種情況可知：公共部分面積最大為4；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)最值在求長(zhǎng)方形面積中的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意表示長(zhǎng)方形的面積，再根據(jù)自變量的取值范圍及二次函數(shù)的最值求法求解．本題還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．