如圖一,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,D為AB中點(diǎn),E為BC上一點(diǎn),且DE⊥AB垂足為D. 
(1)求證:DE=EC; 
(2)如圖二,點(diǎn)F在ED延長線上,連接BF,AF,作AF的垂直平分線交EC于點(diǎn)G,連接FG.請?zhí)骄緽F與GF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
考點(diǎn):全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理
專題:
分析:(1)連接AE,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)定理證得BE=AE,根據(jù)等邊對等角得出∠DAE=∠B=30°,由于在直角三角形ABC中∠BAC=60°,從而證得AE是角的平分線,根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理即可證得DE=EC.
(2)作FI⊥BC于I,作FJ⊥AC于J,連接AG,設(shè)BI=x,IG=y,F(xiàn)I=z,AC=1,則BC=
3
,由于BF2=BI2+FI2=x2+z2,F(xiàn)G2=FI2+GI2=z2+y2,AF2=AJ2+FJ2=(1-z)2+(
3
-x)2,AG2=AC2+GC2=1+(
3
-x-y)2,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理即可求得BF=FA,F(xiàn)G=AG,從而列出方程,解方程組可得x2-
3
x+
3
y-xy=0,從而證得x=y,即I是BG的中點(diǎn),根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)定理即可得出BF=GF.
解答:(1)證明:如圖1,連接AE,
∵D為AB中點(diǎn),且DE⊥AB,
∴BE=AE,
∴∠DAE=∠B=30°,
∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,
∴∠EAC=30°,
∴∠DAE=∠CAE=30°,
∵DE⊥AB,EC⊥AC,
∴DE=EC.

(2)BF=GF;
證明:作FI⊥BC于I,作FJ⊥AC于J,連接AG,
設(shè)BI=x,IG=y,F(xiàn)I=z,AC=1,則BC=
3
,
在RT△BFI中,BF2=BI2+FI2=x2+z2,
在RT△FGI中,F(xiàn)G2=FI2+GI2=z2+y2
在RT△AFJ中,AF2=AJ2+FJ2=(1-z)2+(
3
-x)2,
在RT△AGC中,AG2=AC2+GC2=1+(
3
-x-y)2,
∵D為AB中點(diǎn),且DE⊥AB,
∴BF=FA,
∵作AF的垂直平分線交EC于點(diǎn)G,
∴FG=AG,
∴x2+z2=(1-z)2+(
3
-x)2,z2+y2=1+(
3
-x-y)2,
聯(lián)立這兩個(gè)方程得:x2-
3
x+
3
y-xy=0,
即x=y,
∴I是BG的中點(diǎn),
∵FI⊥BC于I,
∴BF=GF.
點(diǎn)評:此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),線段的垂直平分線的性質(zhì)定理,勾股定理的應(yīng)用,熟練掌握性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵.
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