【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=15,sin∠BAC=.點(diǎn)D在邊AB上(不與點(diǎn)A、B重合),以AD為半徑的⊙A與射線AC相交于點(diǎn)E,射線DE與射線BC相交于點(diǎn)F,射線AF與⊙A交于點(diǎn)G.
(1)如圖,設(shè)AD=x,用x的代數(shù)式表示DE的長;
(2)如果點(diǎn)E是的中點(diǎn),求∠DFA的余切值;
(3)如果△AFD為直角三角形,求DE的長.
【答案】(1);(2)∠DFA的余切值為;(3)DE的長為或.
【解析】
(1)過點(diǎn)D作DH⊥AC,垂足為H.根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理即可用x的代數(shù)式表示DE的長;
(2)根據(jù)題意可設(shè)BC=4k(k>0),AB=5k,則AC==3k.過點(diǎn)A作AM⊥DE,垂足為M,再根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理即可表示∠DFA的余切值;
(3)分兩種情況討論:當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí),只有可能∠FAD=90°;當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上時(shí),只有可能∠AFD=90°,此時(shí)∠AFC=∠AEF.根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理即可求DE的長.
解:(1)如圖,
過點(diǎn)D作DH⊥AC,垂足為H.
在Rt△AEH中,,
.
在⊙A中,AE=AD=x,
∴ ,
∴;
(2)∵,
∴可設(shè)BC=4k(k>0),AB=5k,
則AC==3k.
∵AC=15,
∴3k=15,
∴k=5.
∴BC=20,AB=25.
∵點(diǎn)E是的中點(diǎn),由題意可知此時(shí)點(diǎn)E在邊AC上,點(diǎn)F在BC的延長線上,
∴∠FAC=∠BAC.
∵∠FCA=∠BCA=90°,AC=AC,
∴△FCA≌△BCA(ASA),
∴FC=BC=20.
∵,
又∵∠AED=∠FEC,且∠AED、∠FEC都為銳角,
∴tan∠FEC=2.
∴.
∴AE=AC﹣EC=15﹣10=5.
過點(diǎn)A作AM⊥DE,垂足為M,
則.
∵,
∴ .
在Rt△EFC中,.
∴在Rt△AFM中,.
答:∠DFA的余切值為;
(3)當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí),只有可能∠FAD=90°.
∵FC=CEtan∠FEC=2(15﹣x),
∴.
∴.
∵,
又∵∠AED=∠ADE,且∠AED、∠ADE都為銳角,
∴.
∴.
∴AD=x=.
∴.
當(dāng)點(diǎn)E在AC的延長線上時(shí),只有可能∠AFD=90°,
∠AFC=∠AEF.
∵∠AFC、∠AEF都為銳角,
∴tan∠AEF=tan∠AFC=2.
∵CE=AE﹣AC=x﹣15,
∴CF=CEtan∠AEF=2(x﹣15).
∴.
∴AD=x=.
∴.
綜上所述,△AFD為直角三角形時(shí),DE的長為或.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次課外實(shí)踐活動中,同學(xué)們要測量某公園人工湖兩側(cè)A,B兩個涼亭之間的距離.選涼亭A,C作為觀測點(diǎn).如圖,現(xiàn)測得∠CAB=45°,∠ACB=98°,AC=200米,請計(jì)算A,B兩個涼亭之間的距離、(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732,sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75)
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“長跑”是中考體育考試項(xiàng)目之一.某中學(xué)為了解九年級學(xué)生“長跑”的情況,隨機(jī)抽取部分九年級學(xué)生,測試其長跑成績(男子1000米,女子800米),按長跑的時(shí)間的長短依次分為A,B,C,D四個等級進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中共抽取了 名學(xué)生,扇形統(tǒng)計(jì)圖中,D類所對應(yīng)的扇形圓心角大小為 ;
(2)所抽取學(xué)生“長跑”測試成績的中位數(shù)會落在 等級;
(3)若該校九年級共有900名學(xué)生,請你估計(jì)該校C等級的學(xué)生約在多少人?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將一對直角三角板如圖放置,點(diǎn)C在FD的延長線上,點(diǎn)B在ED上,∠F=∠ACB=90°,AB∥CF,∠E=45°,∠A=60°,AC=8,則CD的長度是_________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一條直線把一個四邊形分成兩部分,這兩部分圖形的周長相等,那么這條直線稱為這個四邊形的“等分周長線”.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,DC=AD,∠B是銳角,cotB=,AB=17.如果點(diǎn)E在梯形的邊上,CE是梯形ABCD的“等分周長線”,那么△BCE的周長為____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在疫情防控期間,某中學(xué)為保障廣大師生生命健康安全購進(jìn)一批免洗手消毒液和84消毒液.如果購買100瓶免洗手消毒液和150瓶84消毒液,共需花費(fèi)1500元;如果購買120瓶免洗手消毒液和160瓶84消毒液,共需花費(fèi)1720元.
(1)每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的價(jià)格分別是多少元?
(2)某藥店出售免洗手消毒液,滿150瓶免費(fèi)贈送10瓶84消毒液.若學(xué)校從該藥店購進(jìn)免洗手消毒液和84消毒液共230瓶,恰好用去1700元,則學(xué)校購買免洗手消毒液多少瓶?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】兩個少年在綠茵場上游戲.小紅從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB運(yùn)動到點(diǎn)B,小蘭從點(diǎn)C出發(fā),以相同的速度沿⊙O逆時(shí)針運(yùn)動一周回到點(diǎn)C,兩人的運(yùn)動路線如圖1所示,其中AC=DB.兩人同時(shí)開始運(yùn)動,直到都停止運(yùn)動時(shí)游戲結(jié)束,其間他們與點(diǎn)C的距離y與時(shí)間x(單位:秒)的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示.則下列說法正確的有________.(填序號)
①小紅的運(yùn)動路程比小蘭的長;② 兩人分別在1.09秒和7.49秒的時(shí)刻相遇;③ 當(dāng)小紅運(yùn)動到點(diǎn)D的時(shí)候,小蘭已經(jīng)經(jīng)過了點(diǎn)D ;④在4.84秒時(shí),兩人的距離正好等于⊙O的半徑.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0)圖象交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D,其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,3).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式.
(2)若將點(diǎn)C沿y軸向下平移4個單位長度至點(diǎn)F,連接AF、BF,求△ABF的面積.
(3)根據(jù)圖象,直接寫出不等式﹣x+b>的解集.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com