Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，3）和點(diǎn)A（3，0）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)P是拋物線落在第一象限，連接PA，PB，求△PAB的面積S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；y=-x+3（2）當(dāng)a=時(shí)，S△PAB有最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）

【解析】

（1）由A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式；

（2）過(guò)P點(diǎn)作PN⊥OA于N，交直線B于M，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為a，則可分別表示出P、M的縱坐標(biāo)，從而表示出PM的長(zhǎng)，根據(jù)S△PAB=S△PAM+S△PBM得到S=PMOA=-(a-）2+，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，及此時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，3）和點(diǎn)A（3，0），

∴，解得，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=-x2+2x+3；

設(shè)直線AB：y=kx+m，

根據(jù)題意得，解得，

∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y=-x+3；

（2）如圖，過(guò)P點(diǎn)作PN⊥OA于N，交直線B于M，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a2+2a+3），點(diǎn)M的坐標(biāo)是（a，-a+3），

又點(diǎn)P，M在第一象限，

∴PM=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a，

∴S△PAB=S△PAM+S△PBM=PMOA=（-a2+3a）×3=-（a-）2+，

∴當(dāng)a=時(shí)，S△PAB有最大值，最大值為，

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）．