Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=2cm,AC=4cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿BA方向以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P, Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．以AP為一邊向上作正方形APDE，過(guò)點(diǎn)Q作QF∥BC,交AC于點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,正方形APDE和梯形BCFQ重合部分的面積為cm．

（1）當(dāng)=_____s時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合；

（2）當(dāng)為多少時(shí)，點(diǎn)D在QF上；

（3）是否存在某一時(shí)刻，使得正方形APDE的面積被直線QF平分？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）.

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，此時(shí)AP＝BQ＝t，且AP＋BQ＝AB＝2，由此列一元一次方程求出t的值；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在QF上時(shí)，如圖1所示，此時(shí)AP＝BQ＝t．由相似三角形比例線段關(guān)系可得PQ＝t，從而由關(guān)系式AP＋PQ＋BQ＝AB＝2，列一元一次方程求出t的值；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在Q，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)（不包括Q，B兩點(diǎn)），1＜t≤時(shí)，如答圖3所示，此時(shí)重合部分為梯形PDGQ．先計(jì)算梯形各邊長(zhǎng)，然后利用梯形面積公式求出S；由題意知，當(dāng)1＜t≤時(shí)，正方形APDE的面積被直線QF平分，列出方程，求出時(shí)間t．

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AP＝BQ＝t，且AP＋BQ＝AB＝2，

∴t＋t＝2，解得t＝1s，

故答案：1．

（2）當(dāng)點(diǎn)D在QF上時(shí)，如圖1所示，此時(shí)AP＝BQ＝t．

∵QF∥BC，APDE為正方形，

∴△PQD∽△ABC，

∴DP：PQ＝AC：AB＝2，

則PQ＝DP＝AP＝t．

由AP＋PQ＋BQ＝AB＝2，得t＋t＋t＝2，
解得：t＝．

故答案：．

（3）當(dāng)P、Q重合時(shí)，由（1）知，此時(shí)t＝1；當(dāng)D點(diǎn)在BC上時(shí)，如圖2所示，此時(shí)AP＝BQ＝t，BP＝t，求得t＝s，因此當(dāng)P點(diǎn)在Q，B兩點(diǎn)之間（不包括Q，B兩點(diǎn)），且1＜t≤時(shí)，如圖3所示，此時(shí)重合部分為梯形PDGQ．此時(shí)AP＝BQ＝t，
∴AQ＝2t，PQ＝APAQ＝2t2；

易知△ABC∽△AQF，
可得AF＝2AQ，EF＝2EG．
∴EF＝AFAE＝2（2t）t＝43t，EG＝EF＝2t，
∴DG＝DEEG＝t（2t）＝t2．
S＝S梯形PDGQ＝（PQ＋DG）PD，
＝[（2t2）＋（t2）]t，
＝；

由題意知，當(dāng)1＜t≤時(shí)，正方形APDE的面積被直線QF平分，

∴

解得：

故答案為：