Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中點、是某函數(shù)圖象上任意兩點．將函數(shù)圖象中的部分沿直線作軸對稱，的部分沿直線作軸對稱，與原函數(shù)圖象中的部分組成了個新函數(shù)的圖象，稱這個新函數(shù)為原函數(shù)關于點、的“雙對稱函數(shù)”．

例如：如圖①，點、是一次函數(shù)圖象上的兩個點，則函數(shù)關于點、的“雙對稱函數(shù)”的圖象如圖②所示．

圖① 圖②

（1）點、是函數(shù)圖象上的兩點，關于點、的“雙對稱函數(shù)”的圖象記作．若是中心對稱圖形，直接寫出的值．

（2）點、是二次函數(shù)圖象上的兩點，該二次函數(shù)關于點、的“雙對稱函數(shù)”記作．

①求、兩點的坐標（用含的代數(shù)式表示）．

②當時，求出函數(shù)的解析式；

③若時，函數(shù)的最小值為，求時，的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，；②；③或．

【解析】

（1）根據(jù)圖像關于原點對稱可得，點A、B兩點一定關于原點對稱，可得t的值；

（2）①直接將P、Q橫坐標代入拋物線，可求得點P、Q的縱坐標；

②根據(jù)“雙對稱函數(shù)”的定義，函數(shù)在點P、Q處翻折，分3段表示函數(shù)解析式即可；

③存在3種情況，一種是t≤－1時，一種是－1＜t＜0時，還有一種是t≥0時，分別討論最小值可求得取值范圍．

（1）∵A、B在反比例函數(shù)

∴A(t，)，B(t+3，)

因為函數(shù)關于原點對稱，則A、B兩點關于原點對稱

∴t+t+3=0

解得：．

（2）①∵

∴∵

∵

∴

∴，．

②當時，點的坐標為，點的坐標為，

原二次函數(shù)的解析式為．

當x＜時,函數(shù)沿y=翻折

得到:

當時，函數(shù)不變，即為：

當時，函數(shù)沿y=翻折

得到：

故可求．

③當t＜0時

同理，可求得

其中，t≤－1時，圖形如下

則點Q始終是函數(shù)在－1≤x≤1的最低點

∵，

∴

解得：≤t≤

∴≤t≤

當－1＜t＜0時，則在x=－1時取得最小值

代入得：y=

∴－2≤≤－1

解得：≤t≤

∴≤t≤

當t≥0時，同理，直接解不等式：

－2≤≤－1

解得：

∴綜上得： 或．