【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AD是⊙O直徑,E是CB延長線上一點,且∠BAE=∠C.
(1)求證:直線AE是⊙O的切線;
(2)若∠BAE=30°,⊙O的半徑為2,求陰影部分的面積;
(3)若EB=AB,cos∠E=,AE=24,求EB的長及⊙O的半徑.
【答案】(1)見解析;(2) π﹣;(3)BE=20,半徑:.
【解析】
(1)連接BD,利用圓周角定理得到∠ABD=90°,則∠D+∠DAB=90°,再利用等量代換證明∠DAE=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論;
(2)連接OB,先計算出∠OAB=60°,得到△AOB為等邊三角形,所以∠AOB=60°,然后利用陰影部份的面積=S扇形AOB﹣S△AOB進(jìn)行計算;
(3)作BH⊥AE于H,利用等腰三角形的性質(zhì)得AH=EH=AE=12,∠E=∠BAE.在Rt△BEH中利用余弦的定義可計算出BE=20,則AB=20,由于∠D=∠C=∠BAE=∠E,則cos∠D=.在Rt△ABD中,cos∠D==,設(shè)BD=3x,AD=5x,易得4x=20,解出x得到AD的長,從而得到⊙O的半徑.
(1)連接BD,如圖,∵AD為直徑,∴∠ABD=90°,∴∠D+∠DAB=90°.
∵∠C=∠D,∠BAE=∠C,∴∠BAE+∠DAB=90°,即∠DAE=90°,∴AD⊥AE,∴直線AE是⊙O的切線;
(2)連接OB,如圖,∵∠BAE=30°,∴∠OAB=60°,而OA=OB,∴△AOB為等邊三角形,∴∠AOB=60°,∴陰影部份的面積=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣×22=π﹣;
(3)作BH⊥AE于H,如圖,∵EB=AB,∴AH=EH=AE=12,∠E=∠BAE.在Rt△BEH中,∵cos∠E==,∴BE=12×=20,∴AB=BE=20.
∵∠D=∠C=∠BAE=∠E,∴cos∠D=.在Rt△ABD中,cos∠D==,設(shè)BD=3x,AD=5x,∴AB=4x,即4x=20,解得:x=5,∴AD=25,∴⊙O的半徑為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年某市為創(chuàng)評“全國文明城市”稱號,周末團(tuán)市委組織志愿者進(jìn)行宣傳活動.班主任梁老師決定從4名女班干部(小悅、小惠、小艷和小倩)中通過抽簽方式確定2名女生去參加.抽簽規(guī)則:將4名女班干部姓名分別寫在4張完全相同的卡片正面,把四張卡片背面朝上,洗勻后放在桌面上,梁老師先從中隨機(jī)抽取一張卡片,記下姓名,再從剩余的3張卡片中隨機(jī)抽取第二張,記下姓名.
(1)該班男生“小剛被抽中”是 事件,“小悅被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“隨機(jī)”);第一次抽取卡片“小悅被抽中”的概率為 ;
(2)試用畫樹狀圖或列表的方法表示這次抽簽所有可能的結(jié)果,并求出“小惠被抽中”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(12分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于點D.點P從點D出發(fā),沿線段DC向點C運動,點Q從點C出發(fā),沿線段CA向點A運動,兩點同時出發(fā),速度都為每秒1個單位長度,當(dāng)點P運動到C時,兩點都停止.設(shè)運動時間為t秒.
(1)求線段CD的長;
(2)設(shè)△CPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定在運動過程中是否存在某一時刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由;
(3)當(dāng)t為何值時,△CPQ為等腰三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在東西方向的海岸線l上有一長為1km的碼頭MN(如圖),在碼頭西端M的正西19.5km處有一觀察站A.某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于A的北偏西30°,且與A相距40km的B處;經(jīng)過1小時20分鐘,又測得該輪船位于A的北偏東60°,且與A相距km的C處.
(1)求該輪船航行的速度(保留精確結(jié)果);
(2)如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行,那么輪船能否正好行至碼頭MN靠岸?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將進(jìn)貨單價為40元的商品按50元售出,能售出500件,如果該商品漲價1元,其銷售量就要減少10件,為了賺取8000元的利潤,售價應(yīng)定為多少元?這時應(yīng)進(jìn)貨多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以的邊為邊,向外作等邊和等邊三角形,連接相交于點.
(1)求證:;
(2)求的度數(shù);
(3)請直接寫出的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=10,PQ=AB,P,Q兩點分別在線段AC和過點A且垂直于AC的射線AM上運動,且點P不與點A,C重合,那么當(dāng)點P運動到什么位置時,才能使△ABC與△APQ全等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ度,并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍,得△AB′C′,即如圖①,我們將這種變換記為[θ,n].
(1)如圖①,對△ABC作變換[60°,]得△AB′C′,則S△AB′C′:S△ABC= ;直線BC與直線B′C′所夾的銳角為 度;
(2)如圖②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,對△ABC 作變換[θ,n]得△AB'C',使點B、C、C′在同一直線上,且四邊形ABB'C'為矩形,求θ和n的值;
(3)如圖③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=l,對△ABC作變換[θ,n]得△AB′C′,使點B、C、B′在同一直線上,且四邊形ABB'C'為平行四邊形,求θ和n的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l為y=x,過點A1(1,0)作A1B1⊥x軸,與直線l交于點B1,以原點O為圓心,OB1長為半徑畫圓弧交x軸于點A2;再作A2B2⊥x軸,交直線l于點B2,以原點O為圓心,OB2長為半徑畫圓弧交x軸于點A3;……,按此作法進(jìn)行下去,則點An的坐標(biāo)為(_______).
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