Question

如圖，?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

5

．對角線AC、BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α°，分別交直線BC、AD于點E、F．
（1）當α=

 

時，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果能，求出此時α的值；如果不能，說明理由；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4個點為頂點的四邊形是矩形？如果存在，直接寫出矩形的名稱及對角線的長度；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由AB⊥AC得∠BAC=90°，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理計算出AC=2，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得OA=OC=

1

2

AC=1，AD∥BC，于是可判斷△AOB為等腰直角三角形，則∠AOB=45°，根據(jù)平行四邊形的判定當EF∥AB時，四邊形ABEF是平行四邊形，則EF⊥AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得α=90°；
（2）由于四邊形ABCD的對稱中心為點O，則OB=OD，OE=OF，可判斷四邊形BEDF為平行四邊形，根據(jù)菱形的判定，當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形而∠AOB=45°，根據(jù)互余得到∠COE=45°，所以此時α為45°；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)有OA=OC，OB=OD，OE=OF，再根據(jù)矩形的判定，當EF=AC時，四邊形AECF為矩形，易得此時矩形AECF的對角線長為2；當EF=BD時，四邊形BEDF為矩形，由△AOB為等腰直角三角形得OB=

2

AB=

2

，則BD=2OB=2

2

，所以此時矩形BEDF的對角線長為2

2

．

解答：解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
在Rt△ABC中，AB=1，BC=

5

，
∴AC=

BC2-AB2

=2，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OA=OC=

1

2

AC=1，AD∥BC，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵AF∥BE，
∴當EF∥AB時，四邊形ABEF是平行四邊形，
∴EF⊥AC，
∴α=90°；
故答案為90°；

（2）在旋轉(zhuǎn)的過程中，四邊形BEDF可能是菱形．
如圖1，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴四邊形ABCD的對稱中心為點O，
∴OB=OD，OE=OF，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，
∵∠AOB=45°，
∴∠COE=45°，
即此時α為45°；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，存在以A、B、C、D、E、F中的4個點為頂點的四邊形是矩形，
∵OA=OC，OB=OD，OE=OF，
∴當EF=AC時，四邊形AECF為矩形，如圖2，矩形AECF的對角線長為2；
當EF=BD時，四邊形BEDF為矩形，如圖3，
∵△AOB為等腰直角三角形，
∴OB=

2

AB=

2

，
∴BD=2OB=2

2

，
∴矩形BEDF的對角線長為2

2

．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握平行四邊形和特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)；理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會運用等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理進行幾何計算．