Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），且拋物線的對(duì)稱軸是直線x=﹣2．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；

（2）連接AC，BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A，B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上試說(shuō)明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出S的最大值，并判斷S取得最大值時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+8；（2）﹣m2+4m，（3）△BCE為等腰三角形．理由見(jiàn)解析.

【解析】

(1) 先解一元二次方程, 得到線段0B、 OC的長(zhǎng), 也就得到了點(diǎn)B、 C兩點(diǎn)坐標(biāo), 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)A坐標(biāo)，把A、 B、 C三點(diǎn)代入二次函數(shù)解析式就能求得二次函數(shù)解析式;

(2)易得=-,只需利用平行得到三角形相似, 求得EF長(zhǎng), 進(jìn)而利用相等角的正弦值求得ΔBEF中BE邊上的高;

(3) 利用二次函數(shù)求出最值, 進(jìn)而求得點(diǎn)E坐標(biāo). OC垂直平分BE, 那么EC=BC, 所求的三角形是等腰三角形.

（1）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），拋物線的對(duì)稱軸是直線x=﹣2，

∴由拋物線的對(duì)稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0），

∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線y=ax2+bx+c的圖象上，

∴c=8，將A（﹣6，0）、B（2，0）代入表達(dá)式，得，

解得，

∴所求拋物線的表達(dá)式為y=﹣x2﹣x+8；

（2）依題意，AE=m，則BE=8﹣m，

∵OA=6，OC=8，

∴AC=10，

∵EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

∴=　　即=，

∴EF=，

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，

則sin∠FEG=sin∠CAB=

∴=

∴FG==8﹣m，

∴S=S△BCE﹣S△BFE=（8﹣m）×8﹣（8﹣m）（8﹣m）=（8﹣m）（8﹣8+m）=（8﹣m）m=﹣m2+4m，

（3）由S=﹣m2+4m=﹣（m﹣4）2+8可知，S存在最大值，

當(dāng)m=4時(shí)，S最大值=8，

∵m=4，

∴AE=4，

∵OA=6，

∴OE=2，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，0），

∵B（2，0），C（0，8），

∴△BCE為等腰三角形．