Question

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     對于形如x²+2ax+a²這樣的二次三項式，我們可以直接用公式法把它分解成（x+a）² 的形式，但對于二次三項式x²+6x-27,就不能直接用公式法分解了。此時，我們可以在x²+6x-27中間先加上一項9，使它與x²+6x的和構成一個完全平方式，然后再減去9，則整個多項式的值不變。 即：x²+6x-27=（x²+6x+9）-9-27=（x+3）²-6²=（x+3+6）(x+3-6)=(x+9)(x-3),

像這樣，把一個二次三項式變成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法。

（1）利用“配方法”因式分解：x²+4xy-5y²

(2) 若a+b=6, ab=5,求:①a²+b², ②a⁴+b⁴的值

（3）如果a²+2b²+c²-2ab-6b-4c+13=0，求a+b+c的值

Answer 1

解：（1）     x²+4xy-5y²   

                  = (x²+4xy+4y²)-4y²-5y²  -----2分

                  =(x+2y)²-(3y)²  ------1分

                  =(x+2y+3y)(x+2y-3y)

                  =(x+5y)(x-y)  -------1分

（2）             ∵  a+b=6, ab=5

∴ a²+b²=（a+b）²-2ab=6²-2×5=36-10=26. ----1分

∴a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²=26²-2×5²=676-50=626 

（3）     ∵   a²+2b²+c²-2ab-6b-4c+13=0 

          ∴    (a²-2ab+b²)+(b²-6b+9)+(c²-4c+4)=0  -----1分

                  (a-b)²+(b-3)²+(c-2)²=0          ------1分

             又∵(a-b)²≥0,(b-3)²≥0,(c-2)²≥0,

                ∴(a-b)²=0,(b-3)²=0,(c-2)²=0,

                        a=b=3,c=2               ------1分

                     ∴ a+b+c=8                 ------1分