Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=10（AB＞AD），AD與BC之間的距離為6，點(diǎn)E在線段AB上移動，以E為圓心，AE長為半徑作⊙E．

（1）如圖1，若E是AB的中點(diǎn)，求⊙E在AD所在的直線上截得的弦長；
（2）如圖2，若⊙E與BC所在的直線相切，求AE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,平行四邊形的性質(zhì),垂徑定理

專題：

分析：（1）設(shè)AD和圓相交于F，連接BF，由圓周角定理可得BF⊥AD，所以BF=8，根據(jù)勾股定理即可求出AF的長；
（2）過點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，連接EF．利用平行線AD∥CB的性質(zhì)推知內(nèi)錯角∠DAB=∠ABM；然后在Rt△ABM和Rt△BEG中根據(jù)三角函數(shù)的定義求得比例式，利用比例的性質(zhì)即可求得AE的值．

解答：解：（1）設(shè)AD和圓相交于F，連接BF，
∵AB是圓的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴BF⊥AD，
∵AD與BC之間的距離為6，
∴BF=6，
∴AB=10，
∴AF=

102-62

=8；
（2）過點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，連接EG．
∵AD與BC之間的距離為6，
∴BM=6；
∴sin∠DAB=

BM

AB

=

3

5

；
又∵CG是⊙E的切線，
∴EG⊥CG，
∴cos∠BEG=

EG

BE

；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC（平行四邊形的對邊相互平行），
∴∠DAB=∠ABG（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；
∵AE=EG（⊙E的半徑），
∴

BM

AB

=

AE

BE

即

3

5

=

AE

BE

，
∴AE=

15

4

．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：解直角三角形、切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線，構(gòu)造直角三角形．