【題目】如圖(1)所示,E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn),動點(diǎn)P、Q同時從點(diǎn)B出發(fā),點(diǎn)P以1cm/秒的速度沿折線BE﹣ED﹣DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止,點(diǎn)Q以2cm/秒的速度沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止.設(shè)P、Q同時出發(fā)t秒時,△BPQ的面積為ycm2 . 已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖像如圖(2)(其中曲線OG為拋物線的一部分,其余各部分均為線段).

(1)試根據(jù)圖(2)求0<t≤5時,△BPQ的面積y關(guān)于t的函數(shù)解析式;
(2)求出線段BC、BE、ED的長度;
(3)當(dāng)t為多少秒時,以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和△ABE相似;
(4)如圖(3)過E作EF⊥BC于F,△BEF繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度,如果△BEF中E、F的對應(yīng)點(diǎn)H、I恰好和射線BE、CD的交點(diǎn)G在一條直線,求此時C、I兩點(diǎn)之間的距離.

【答案】
(1)

解:觀察圖像可知,AD=BC=5×2=10,BE=1×10=10,ED=4×1=4,AE=10﹣4=6

在Rt△ABE中,AB= = =8,

如圖1中,作PM⊥BC于M.

∵△ABE∽△MPB,

= ,

∴PM= t,

當(dāng)0<t≤5時,△BPQ的面積y= BQPM= 2t t= t2


(2)

解:由(1)可知BC=BE=10,ED=4


(3)

解:①當(dāng)P在BE上時,

∵BQ=2PB,

∴只有∠BPQ=90°,才有可能B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和△ABE相似,

∴∠BQP=30°,這個顯然不可能,

∴當(dāng)點(diǎn)P在BE上時,不存在△PQB與△ABE相似.

②當(dāng)點(diǎn)P在ED上時,觀察圖像可知,不存在△.

③當(dāng)點(diǎn)P在DC上時,設(shè)PC=a,

當(dāng) 時,∴ = ,

∴a=

此時t=10+4+(8﹣ )=14.5,

∴t=14.5s時,△PQB與△ABE相似


(4)

解:如圖3中,設(shè)EG=m,GH=n,

∵DE∥BC,

= ,

∴m=

在Rt△BIG中,∵BG2=BI2+GI2

∴( 2=62+(8+n)2,

∴n=﹣8+8 或﹣8﹣8 (舍棄),

∵∠BIH=∠BCG=90°,

∴B、I、C、G四點(diǎn)共圓,

∴∠BGH=∠BCI,

∵∠GBF=∠HBI,

∴∠GBH=∠CBI,

∴△GBH∽△CBI,

,

=

∴IC=


【解析】(1)觀察圖像可知,AD=BC=5×2=10,BE=1×10=10,ED=4×1=4,AE=10﹣4=6在Rt△ABE中,AB= = =8,如圖1中,作PM⊥BC于M.由△ABE∽△MPB,得 ,求出PM,根據(jù)△BPQ的面積y= BQPM計算即可問題.(2)觀察圖像(1)(2),即可解決問題.(3)分三種情形討論①P在BE上,②P在DE上,③P在CD上,分別求解即可.(4)由∠BIH=∠BCG=90°,推出B、I、C、G四點(diǎn)共圓,推出∠BGH=∠BCI,由△GBH∽△CBI,可得 ,由此只要求出GH即可解決問題.
【考點(diǎn)精析】利用相似三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形;相似三角形的判定方法:兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似(ASA);直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似; 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS);三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似(SSS).

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1)求原計劃每天生產(chǎn)的零件個數(shù)和規(guī)定的天數(shù).

2)為了提前完成生產(chǎn)任務(wù),工廠在安排原有工人按原計劃正常生產(chǎn)的同時,引進(jìn)5組機(jī)器人生產(chǎn)流水線共同參與零件生產(chǎn),已知每組機(jī)器人生產(chǎn)流水線每天生產(chǎn)零件的個數(shù)比20個工人原計劃每天生產(chǎn)的零件總數(shù)還多20%,按此測算,恰好提前兩天完成24000個零件的生產(chǎn)任務(wù),求原計劃安排的工人人數(shù).

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(1)①填空:△ACE∽
(2)求證:△CDE∽△CBA;
(3)求證:△FBD≌△EDC;
(4)若點(diǎn)D在∠BAC的平分線上,判斷四邊形AFDE的形狀,并說明理由.

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