Question

如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BD相交于點O，與BC相交于N，連接BM，DN．
（1）求證：四邊形BMDN是菱形；
（2）若AB=2，AD=4，求MD的長．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題,證明題

分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，證△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四邊形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根據(jù)菱形性質(zhì)求出DM=BM，在Rt△AMB中，根據(jù)勾股定理得出BM²=AM²+AB²，即可列方程求得．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中

∠MDO=∠NBO BO=DO ∠MOD=∠NOB

∴△DMO≌△BNO（ASA），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四邊形BMDN是平行四邊形，
∵MN⊥BD，
∴平行四邊形BMDN是菱形．

（2）解：∵四邊形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
設MD長為x，則MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM²=AM²+AB²
即x²=（4-x）²+2²，
解得：x=

5

2

，
答：MD長為

5

2

．

點評：本題考查了矩形性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點的應用，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．