Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，3），A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱，反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)P是直線y=x上一動點(diǎn)．
（1）B點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

；
（2）若點(diǎn)C是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)C，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)C坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若點(diǎn)Q是線段OP上一點(diǎn)（Q不與O、P重合），當(dāng)四邊形AOBP為菱形時，過點(diǎn)Q分別作直線OA和直線AP的垂線，垂足分別為E、F，當(dāng)QE+QF+QB的值最小時，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：動點(diǎn)型,分類討論

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)（a，b）關(guān)于y=x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，a）直接寫出答案即可；
（2）首先求得反比例函數(shù)的解析式，然后設(shè)P（m，m），分若PC為平行四邊形的邊和若PC為平行四邊形的對角線兩種情況分類討論即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）連接AQ，設(shè)AB與PO的交點(diǎn)為D，利用四邊形AOBP是菱形，得到S_△AOP=S_△AOQ+S_△APQ，從而得到

1

2

PO•AD=

1

2

AO•QE+

1

2

AP•QF，確定QE+QF=

PO•AD

AO

為定值，從而求解．

解答：解：（1）B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1）；

（2）∵反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），
∴k=1×3=3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

，
∵點(diǎn)P在直線y=x上，
∴設(shè)P（m，m）
①若PC為平行四邊形的邊，
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)比點(diǎn)B的橫坐標(biāo)小2，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)比點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大2，
∴點(diǎn)C在點(diǎn)P的下方，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m+2，m-2）如圖1，
若點(diǎn)C在點(diǎn)P的上方，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m-2，m+2）如圖2，
把C（m+2，m-2）代入反比例函數(shù)的解析式得：m=±

7

，
∵m＞0，
∴m=

7

，＞
∴C₁（

7

+2，

7

-2），
同理可得另一點(diǎn)C₂（

7

-2，

7

+2）；
②若PC為平行四邊形的對角線，如圖3，
∵A、B關(guān)于y=x對稱，
∴OP⊥AB
此時點(diǎn)C在直線y=x上，且為直線y=x與雙曲線y=

3

x

的交點(diǎn)，
由

y=x y= 3 x

解得

x1= 3 y1= 3

，

x2=- 3 y2=- 3

（舍去）
∴C₃（

3

，

3

）
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C有三個，坐標(biāo)分別為：C₁（

7

+2，

7

-2），C₂（

7

-2，

7

+2），C₃（

3

，

3

）；

（3）連接AQ，設(shè)AB與PO的交點(diǎn)為D，如圖4，
∵四邊形AOBP是菱形，
∴AO=AP
∵S_△AOP=S_△AOQ+S_△APQ，
∴

1

2

PO•AD=

1

2

AO•QE+

1

2

AP•QF
∴QE+QF=

PO•AD

AO

為定值，
∴要使QE+QF+QB的值最小，只需QB的值當(dāng)QB⊥PO時，QB最小，
所以D點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，
∵A（1，3），B（3，1）
∴D（2，2），
∴當(dāng)QE+QF+QB的值最小時，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識，本題中涉及了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大，這也是中考的熱點(diǎn)題型之一．