Question

【題目】綜合與實踐

在數學活動課上，老師給出如下問題，讓同學們展開探究活動：

[問題情境]

如圖①，在中，，點為上一點，將線段繞點逆時針旋轉，得到的對應線段為，過點作，交于點，請你根據上述條件，提出恰當的數學問題并解答．

　　　

[解決問題]

下面是學習小組提出的三個問題，請你解答這些問題：

（1）“興趣”組提出的問題是：求證：；

（2）“實踐”小組提出的問題是：如圖②，若將沿的垂直平分線對折，得到，連接，則線段與有怎樣的數量關系？請說明理由；

（3）“奮進”小組在“實踐”小組探究的基礎上，提出了如下問題：延長與交于點，連接，求證：四邊形是矩形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）連接，證明，得到AD=BE，，證出∠ABE=90°，由平行線的性質得出∠FEB=90°，得出，證出EF=BE，即可得出結論；

（2）連接BE，由（1）可得出BE=BG=EF，證出，再由等腰直角三角形的性質即可得出結論；

（3）連接BE，證出CH=CF，證明，得出，證出，證明四邊形為正方形，得出∠FGB=90°，因此，證明四邊形是平行四邊形即可得出它是矩形．

（1）證明：如圖1所示：連接

，

在和中，

，

，

（2）解：

理由如下：如圖2所示，連接.

由（1）可知，，

（3）證明：如圖3所示，連接

，

，

，

與對稱，點的對應點為，

，

在和中，

，

，

又，

，

由（1）、（2）可知，，

四邊形為正方形，

，

，

，

又，

四邊形是平行四邊形，

四邊形為矩形