Question

【題目】綜合與實(shí)踐

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師給出如下問(wèn)題，讓同學(xué)們展開探究活動(dòng)：

[問(wèn)題情境]

如圖①，在中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到的對(duì)應(yīng)線段為，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)上述條件，提出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問(wèn)題并解答．

　　　

[解決問(wèn)題]

下面是學(xué)習(xí)小組提出的三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解答這些問(wèn)題：

（1）“興趣”組提出的問(wèn)題是：求證：；

（2）“實(shí)踐”小組提出的問(wèn)題是：如圖②，若將沿的垂直平分線對(duì)折，得到，連接，則線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）“奮進(jìn)”小組在“實(shí)踐”小組探究的基礎(chǔ)上，提出了如下問(wèn)題：延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，求證：四邊形是矩形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）連接，證明，得到AD=BE，，證出∠ABE=90°，由平行線的性質(zhì)得出∠FEB=90°，得出，證出EF=BE，即可得出結(jié)論；

（2）連接BE，由（1）可得出BE=BG=EF，證出，再由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）連接BE，證出CH=CF，證明，得出，證出，證明四邊形為正方形，得出∠FGB=90°，因此，證明四邊形是平行四邊形即可得出它是矩形．

（1）證明：如圖1所示：連接

，

在和中，

，

，

（2）解：

理由如下：如圖2所示，連接.

由（1）可知，，

（3）證明：如圖3所示，連接

，

，

，

與對(duì)稱，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，

，

在和中，

，

，

又，

，

由（1）、（2）可知，，

四邊形為正方形，

，

，

，

又，

四邊形是平行四邊形，

四邊形為矩形