【題目】如圖,點O為矩形ABCD的對稱中心,AB=10cm,BC=12cm.點E,F,G分別從A,B,C三點同時出發(fā),沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動,點E的運動速度為1cm/s,點F的運動速度為3cm/s,點G的運動速度為1.5cm/s.當點F到達點C(即點F與點C重合)時,三個點隨之停止運動.在運動過程中,△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB'F,設點E,F,G運動的時間為t(單位:s).
(1)當t= s時,四邊形EBFB'為正方形;
(2)若以點E,B,F為頂點的三角形與以點F,C,G為頂點的三角形相似,求t的值;
(3)是否存在實數(shù)t,使得點B'與點O重合?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)2.5.(2)或.(3)不存在,理由見解析
【解析】
(1)由題意得由BE=BF即可.
(2)分△EBF∽△FCG和△EBF∽△GCF討論即可.
(3)用反證法證明,假設存在實數(shù)t,使得點B'與點O重合,求出此時AE和BF的值,與已知的速度得到的比值比較得出錯誤的結(jié)論.
試題
解:(1)∵AB=10,BC=12,∴.
由BE=BF得.
(2)由題意得AE=t,BF=3t,CG=1.5t.
∵AB=10,BC=12,∴.
∵點F在BC上運動,∴,即.
①當△EBF∽△FCG時,,∴,解得.
②當△EBF∽△GCF時,,∴,化簡,得.
解得(不合題意,舍去).
∵,∴或符合題意.
∴若以點E,B,F為頂點的三角形與以點F,C,G為頂點的三角形相似,則或.
(3)不存在,理由如下:
如圖,連接BD.
∵點O為矩形ABCD的對稱中心,∴點O為BD的中點.
假設存在實數(shù)t,使得點B'與點O重合,此時,EF是OB的垂直平分線,垂足為點H.
∵易知,,.
∴△EHB∽△BHF∽△BCD,
∴.∴ .
∵點F的運動速度是點E的運動速度的3倍,但,
∴不存在實數(shù)t,使得點B'與點O重合.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O與AC交于點D,E是BC的中點,連接BD,DE.
(1)若,求sinC;
(2)求證:DE是⊙O的切線.
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【題目】綜合與實踐
在數(shù)學活動課上,老師給出如下問題,讓同學們展開探究活動:
[問題情境]
如圖①,在中,,點為上一點,將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn),得到的對應線段為,過點作,交于點,請你根據(jù)上述條件,提出恰當?shù)臄?shù)學問題并解答.
[解決問題]
下面是學習小組提出的三個問題,請你解答這些問題:
(1)“興趣”組提出的問題是:求證:;
(2)“實踐”小組提出的問題是:如圖②,若將沿的垂直平分線對折,得到,連接,則線段與有怎樣的數(shù)量關系?請說明理由;
(3)“奮進”小組在“實踐”小組探究的基礎上,提出了如下問題:延長與交于點,連接,求證:四邊形是矩形.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,CE平分∠ACB交⊙O于E,交AB于點D,連接AE,∠E=30°,AC=5.
(1)求CE的長;
(2)求S△ADC:S△ACE的比值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△OAB的頂點坐標分別為O(0,0),A(1,2),B(3,1)(每個方格的邊長均為1個單位長度).
(1)將△OAB向右平移1個單位后得到△O1A1B1,請畫出△O1A1B1;
(2)請以O為位似中心畫出△O1A1B1的位似圖形,使它與△O1A1B1的相似比為2:1;
(3)點P(a,b)為△OAB內(nèi)一點,請直接寫出位似變換后的對應點P′的坐標為 .
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【題目】如圖,⊙O的直徑AB=10,弦AC=8,連接BC。
(1)尺規(guī)作圖:作弦CD,使CD=BC(點D不與B重合),連接AD;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)在(1)所作的圖中,求四邊形ABCD的周長。
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【題目】某校號召全體學生1200人積極參加義工活動,小慶隨機抽取部分學生一年中參加義工活動的次數(shù)情況進行統(tǒng)計,繪制了如下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖.
次數(shù) | 10 | 8 | 6 | 5 |
人數(shù) | 3 | a | 2 | 1 |
(1)表中數(shù)據(jù)為多少?并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)計算被抽取學生平均一年參加義工活動的次數(shù);
(3)估計全校學生中參加義工活動8次的有多少人?
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【題目】已知二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與一次函數(shù)y=kx﹣2的圖象相交于A、B兩點,如圖所示,其中A(﹣1,﹣1),
(1)求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式.
(2)求△OAB的面積.
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【題目】如圖,在10×10正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1個單位.將△ABC向下平移4個單位,得到△A′B′C′,再把△A′B′C′繞點C'順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△A″B″C′,請你畫出△A′B′C′和△A″B″C′,求出 的長?
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