Question

在平面直角坐標(biāo)系中，我們不妨把橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“夢(mèng)之點(diǎn)”，例如點(diǎn)（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“夢(mèng)之點(diǎn)”，顯然，這樣的“夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)．

（1）若點(diǎn)P（2，m）是反比例函數(shù)y=（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上的“夢(mèng)之點(diǎn)”，求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；

（2）函數(shù)y=3kx+s﹣1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”嗎？若存在，請(qǐng)求出“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若二次函數(shù)y=ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)之點(diǎn)”A（x1，x1），B（x2，x2），且滿足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，試求出t的取值范圍．

 

Answer 1

（1）y=；（2）當(dāng)k≠時(shí)，“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)為（，）；當(dāng)k=，s=1時(shí)，“夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)；當(dāng)k=，s≠1時(shí)，不存在“夢(mèng)之點(diǎn)”；（3）t＞．

【解析】

試題分析：（1）先由“夢(mèng)之點(diǎn)”的定義得出m=2，再將點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；

（2）假設(shè)函數(shù)y=3kx+s﹣1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”（x，x），則有x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分三種情況進(jìn)行討論即可；

（3）先將A（x1，x1），B（x2，x2）代入y=ax2+bx+1，得到ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，根據(jù)方程的解的定義可知x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=，x1•x2=，則（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2==4，整理得出b2﹣2b=（2a+1）2﹣2，則t=b2﹣2b+=（2a+1）2+．再由﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，得出﹣4＜x2＜4，﹣8＜x1•x2＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式組得出a＞，進(jìn)而求出t的取值范圍．

試題解析：（1）∵點(diǎn)P（2，m）是“夢(mèng)之點(diǎn)”，

∴m=2，

∵點(diǎn)P（2，2）在反比例函數(shù)y=（n為常數(shù)，n≠0）的圖象上，

∴n=2×2=4，

∴反比例函數(shù)的解析式為y=；

（2）假設(shè)函數(shù)y=3kx+s﹣1（k，s是常數(shù)）的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”（x，x），

則有x=3kx+s﹣1，

整理，得（3k﹣1）x=1﹣s，

當(dāng)3k﹣1≠0，即k≠時(shí)，解得x=；

當(dāng)3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1時(shí)，x有無(wú)窮多解；

當(dāng)3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1時(shí)，x無(wú)解；

綜上所述，當(dāng)k≠時(shí)，“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo)為（，）；當(dāng)k=，s=1時(shí)，“夢(mèng)之點(diǎn)”有無(wú)數(shù)個(gè)；當(dāng)k=，s≠1時(shí)，不存在“夢(mèng)之點(diǎn)”；

（3）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)之點(diǎn)”A（x1，x1），B（x2，x2），

∴x1=ax12+bx1+1，x2=ax22+bx2+1，

∴ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，

∴x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的兩個(gè)不等實(shí)根，

∴x1+x2=，x1•x2=，

∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=（）2﹣4×==4，

∴b2﹣2b=4a2+4a﹣1=（2a+1）2﹣2，

∴t=b2﹣2b+=（2a+1）2﹣2+=（2a+1）2+．

∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，

∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，

∴﹣4＜x2＜4，

∴﹣8＜x1•x2＜8，

∴﹣8＜＜8，

∵a＞0，

∴a＞

∴（2a+1）2+＞+=，

∴t＞．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．