Question

（8分）已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，將正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)．

（1）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖1），△ABE與△ADG的面積

關(guān)系是： ．

（2）引申：當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度時(shí)（如圖2），△ABE與△ADG的面

積關(guān)系是：______________________．并證明你的結(jié)論．

證明：

（3）運(yùn)用：已知△ABC，AB＝5cm，BC＝3cm，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形（如圖3），則圖中陰影部分的面積和的最大值是 cm2．

 

Answer 1

（1）相等（2）相等（3）22．5

【解析】

試題分析：（1）由于當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)圖形和三角形的面積公式容易得到△ABE與△ADG的面積關(guān)系；

（2）相等．如圖延長(zhǎng)BA到點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥BP于點(diǎn)P；延長(zhǎng)AD到點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥AQ于點(diǎn)Q，由此得到∠P=∠Q=90°，而四邊形AGFE，ABCD均為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到AE=AG，AB=AD，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，這樣得到∠1=∠3，然后就可以證明△APE≌△AQG，接著得到EP=GQ，然后利用三角形的面積公式即可證明題目的問(wèn)題；

（3）根據(jù)（2）的幾個(gè)可以得到三個(gè)陰影部分的面積都和三角形ABC的面積相等，而AB=5cm，BC=3cm，若圖中陰影部分的面積和的最大值，則三角形ABC的面積最大，則其是直角三角形即可求解．

試題解析：（1）發(fā)現(xiàn)：當(dāng)E點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DA的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖1），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：相等 ．

（2）引申：當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度時(shí)（如圖2），△ABE與△ADG的面積關(guān)系是：相等 ．

證明：

過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于N

∴△EMA≌△GNA

∴EM=GD

∵S△ABE = AB．EM，S△ADG = AD．GN

AB=AD,EM=GD

∴

（3）運(yùn)用：已知△ABC，AB＝5cm，BC＝3cm，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形（如圖3），則圖中陰影部分的面積和的最大值是 22．5 cm2．

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)變換，三角形的面積，三角形全等