【題目】如圖①,在△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=100°,D是BC的中點(diǎn).
小明對圖①進(jìn)行了如下探究:在線段AD上任取一點(diǎn)P,連接PB.將線段PB繞點(diǎn)P按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)80°,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E,連接BE,得到△BPE.小明發(fā)現(xiàn),隨著點(diǎn)P在線段AD上位置的變化,點(diǎn)E的位置也在變化,點(diǎn)E可能在直線AD的左側(cè),也可能在直線AD上,還可能在直線AD的右側(cè).
請你幫助小明繼續(xù)探究,并解答下列問題:
(1)當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上時(shí),如圖②所示.
①∠BEP= °;
②連接CE,直線CE與直線AB的位置關(guān)系是 .
(2)請?jiān)趫D③中畫出△BPE,使點(diǎn)E在直線AD的右側(cè),連接CE.試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系,并說明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動時(shí),求AE的最小值.
【答案】(1)①50°;②AB∥EC;(2)詳見解析;(3)3.
【解析】
(1)①根據(jù)∠BPE=80°,PB=PE即可求出答案;②根據(jù)“AB=AC,∠BAC=100°”,可以得到AE垂直平分線段BC,從而得到EB=EC,進(jìn)而得到∠ECB=∠EBC,即可證得∠ABC=∠ECB,從而得到答案;
(2)以P為圓心,PB為半徑作⊙P,得到PB=PC,再根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心的一半求出∠BCE的度數(shù)從而得到答案;
(3)作AH⊥CE于H,點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動,點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)A重合時(shí),AE取最小值,故而得到答案.
解:(1)①如圖②中,
∵∠BPE=80°,PB=PE,
∴∠PEB=∠PBE=50°,
②結(jié)論:AB∥EC.
理由:∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
∴∠BDE=90°,
∴∠EBD=90°﹣50°=40°,
∵AE垂直平分線段BC,
∴EB=EC,
∴∠ECB=∠EBC=40°,
∵AB=AC,∠BAC=100°,
∴∠ABC=∠ACB=40°,
∴∠ABC=∠ECB,
∴AB∥EC.
故答案為50,AB∥EC.
(2)如圖③中,以P為圓心,PB為半徑作⊙P.
∵AD垂直平分線段BC,
∴PB=PC,
∴∠BCE=∠BPE=40°,
∵∠ABC=40°,
∴AB∥EC.
(3)如圖④中,作AH⊥CE于H,
∵點(diǎn)E在射線CE上運(yùn)動,點(diǎn)P在線段AD上運(yùn)動,
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)A重合時(shí),AE的值最小,此時(shí)AE的最小值=AB=3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一艘船由A港沿北偏東65°方向航行km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏東20°方向.
求:(1)∠C的度數(shù);
(2)A,C兩港之間的距離為多少km.
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【題目】問題:(1)如圖①,在Rt△ABC中,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,連接EC,則線段BC,DC,EC之間滿足的等量關(guān)系式為 ;
探索:(2)如圖②,在Rt△ABC與Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)D落在BC邊上,試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
應(yīng)用:(3)如圖③,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),AF平分∠BAE交BC于點(diǎn)F,將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG,則CF的長為____.
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【題目】如圖,在 Rt△ABC 中BC=2,以 BC 的中點(diǎn) O 為圓心的⊙O 分別與 AB,AC 相切于 D,E 兩點(diǎn),的長為( )
A.B.C.πD.2π
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=∠ABC,BE⊥AC,垂足為點(diǎn)E,△BDE是等邊三角形,若AD=4,則線段BE的長為______.
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【題目】為了響應(yīng)“低碳環(huán)保,綠色出行”的公益活動,小燕和媽媽決定周日騎自行車去圖書館借書.她們同時(shí)從家出發(fā),小燕先以150米/分的速度騎行一段時(shí)間,休息了5分鐘,再以m米/分鐘的速度到達(dá)圖書館,而媽媽始終以120米/分鐘的速度騎行,兩人行駛的路程y(米)與時(shí)間x(分鐘)的關(guān)系如圖,請結(jié)合圖像,解答下列問題:
(1)圖書館到小燕家的距離是 米;
(2)a= ,b= ,m= ;
(3)媽媽行駛的路程y(米)關(guān)于時(shí)間x(分鐘)的函數(shù)解析式是 ;定義域是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是平行四邊形,OB=OC=2,AB=.
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo),直線CD的函數(shù)表達(dá)式;
(2)已知點(diǎn)P是直線CD上一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P滿足S△PAO=S△ABO時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)M在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),則在直線AB上是否存在點(diǎn)F(不與A、B重合),使以A、 C、 F、M為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
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【題目】)甲乙兩人在相同條件下完成了5次射擊訓(xùn)練,兩人的成績?nèi)鐖D所示.
(1)甲射擊成績的眾數(shù)為 環(huán),乙射擊成績的中位數(shù)為 環(huán);
(2)計(jì)算兩人射擊成績的方差;
(3)根據(jù)訓(xùn)練成績,你認(rèn)為選派哪一名隊(duì)員參賽更好,為什么?
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