Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF平分∠BAE交BC于點(diǎn)F，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG，則CF的長(zhǎng)為____.

Answer 1

【答案】6﹣2.

【解析】

作FM⊥AD于M, FN⊥AG于N,如圖，易得四邊形CFMD為矩形，則FM=4,利用勾股定理計(jì)算出AE=,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AG=AE=2., BG=DE=2，∠1=∠4，∠GAE=90°，∠ABG=∠D=90°，于是可判斷點(diǎn)G、 C、B三點(diǎn)共線，接著證明FA平分∠GAD得到FN=FM=4,然后利用等面積法計(jì)算出GF，從而計(jì)算CG-GF就可得到CF的長(zhǎng).

解:作FM⊥AD于M, FN⊥AG于N,如圖，

易得四邊形CFMD為矩形，則FM=4,

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E是CD的中點(diǎn)，

∴DE=2,

∴AE=

∵△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG

∴AG=AE=，BG=DE=2，∠1=∠4,∠GAE=90°，∠ABG=∠D=90° ,

而∠ABC=90°，

∴點(diǎn)G、C、B三點(diǎn)共線.

∴AF平分∠BAE交BC于點(diǎn)F,

∴∠2=∠3,

∴∠1+∠2=∠3+∠4

∴∠GAF=∠FAD,

∴FA平分∠GAD,

∴FN=FM=4,

∴

∴GF=

.CF=CG-GF=4+2-=6-