【題目】如圖,在ABC中,點D、E分別在邊BC、AC上,連接AD、DE,且1=B=C.

(1)由題設(shè)條件,請寫出三個正確結(jié)論:(要求不再添加其他字母和輔助線,找結(jié)論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中,不必證明)

答:結(jié)論一: ;

結(jié)論二: ;

結(jié)論三:

(2)若B=45°,BC=2,當(dāng)點D在BC上運動時(點D不與B、C重合),

求CE的最大值;

ADE是等腰三角形,求此時BD的長.

(注意:在第(2)的求解過程中,若有運用(1)中得出的結(jié)論,須加以證明)

【答案】(1)AB=ACAED=ADC;ADE∽△ACD;(2)

【解析】

試題分析:(1)由B=C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=AC;由1=C,AED=EDC+C得到AED=ADC;又由DAE=CAD,根據(jù)相似三角形的判定可得到ADE∽△ACD;

(2)B=C,B=45°可得ACB為等腰直角三角形,則AC=BC=×2=,由1=C,DAE=CAD,根據(jù)相似三角形的判定可得ADE∽△ACD,則有AD:AC=AE:AD,即AD2=AE AC,

AE= AD2,當(dāng)ADBC,AD最小,且AD=BC=1,此時AE最小為,利用CE=AC-AE得到CE的最大值;

討論:當(dāng)AD=AE時,則1=AED=45°,得到DAE=90°,則點D與B重合,不合題意舍去;當(dāng)EA=ED時,如圖1,則EAD=1=45°,所以有AD平分BAC,得到AD垂直平分BC,則BD=1;

當(dāng)DA=DE時,如圖2,由ADE∽△ACD,易得CAD為等腰三角形,則DC=CA=,于是有BD=BC-DC=2-

試題解析:(1)AB=AC;AED=ADC;ADE∽△ACD;

(2)①∵∠B=C,B=45°,

∴△ACB為等腰直角三角形,

AC=BC=×2=,

∵∠1=C,DAE=CAD,

∴△ADE∽△ACD,

AD:AC=AE:AD,即AD2=AE AC,

AE=AD2,

當(dāng)AD最小時,AE最小,此時ADBC,AD=BC=1,

AE的最小值為×12=,

CE的最大值=-=;

當(dāng)AD=AE時,

∴∠1=AED=45°,

∴∠DAE=90°,

點D與B重合,不合題意舍去;

當(dāng)EA=ED時,如圖1,

∴∠EAD=1=45°,

AD平分BAC,

AD垂直平分BC,

BD=1;

當(dāng)DA=DE時,如圖2,

∵△ADE∽△ACD,

DA:AC=DE:DC,

DC=CA=,

BD=BC-DC=2-

綜上所述,當(dāng)ADE是等腰三角形時,BD的長為1或2-

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