Question

已知在任意四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別將AD、BC分成兩部分，AF和BE交于P，CE和DF交于Q，求證：S_{四邊形EPFQ}=S_△CDQ+S_△ABP．

Answer 1

考點(diǎn)：面積及等積變換

專題：證明題

分析：作AG⊥BC于G，EH⊥BC于H，DK⊥BC于K，過D點(diǎn)作DM⊥AG于M，交EH于N，根據(jù)三角形面積公式得到S_△ABF=

1

2

AG•BF，S_△DCF=

1

2

DK•FC，S_△EBC=

1

2

EH•BC，
由于DM⊥AM，易得MG=NH=DK，則S_△ABF=

1

2

AM•BF+

1

2

DK•BF，再證明△DNE∽△DMA，利用相似比可得到AM=

m+n

n

EN，由CF：BF=m：n得到BF=

n

m+n

BC，
然后把S_△ABF+S_△DCF進(jìn)行變形得到S_△ABF+S_△DCF=

1

2

EH•BC，則S_△ABF+S_△DCF=S_△EBC，最后利用面積的和差即可得到結(jié)論．

解答：證明：作AG⊥BC于G，EH⊥BC于H，DK⊥BC于K，過D點(diǎn)作DM⊥AG于M，交EH于N，如圖，
點(diǎn)E、F分別將AD、BC分成兩部分的比為m：n，即AE：ED=CF：BF=m：n，
S_△ABF=

1

2

AG•BF，S_△DCF=

1

2

DK•FC，S_△EBC=

1

2

EH•BC，
∵DM⊥AM，
∴MG=NH=DK，
∴S_△ABF=

1

2

（AM+DK）•BF=

1

2

AM•BF+

1

2

DK•BF，
∵EN∥AM，
∴△DNE∽△DMA，
而AE：ED=m：n，
∴

EN

AM

=

DE

DA

=

n

m+n

，
∴AM=

m+n

n

EN，
∵CF：BF=m：n，
∴BF=

n

m+n

BC，
∴S_△ABF+S_△DCF=

1

2

AM•BF+

1

2

DK•BF+

1

2

DK•FC=

1

2

AM•BF+

1

2

DK•BC=

1

2

•

m+n

n

EN•

n

m+n

BC+

1

2

DK•BC=

1

2

EN•BC+

1

2

DK+BC=

1

2

（EN+DK）•BC=

1

2

（EN+NH）•BC=
=

1

2

EH•BC，
∴S_△ABF+S_△DCF=S_△EBC，
∴S_△ABP+S_△PBF+S_△CDQ+S_△QFC=S_{四邊形EPFQ}+S_△PBF+S_△QFC，
∴S_{四邊形EPFQ}=S_△CDQ+S_△ABP．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面積及等積變換：三角形面積等于底與高的積的一半；相似三角形面積的比等于相似比的平方；同底等高的三角形的面積相等．