Question

【題目】感知：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠APD=90°時(shí)，可知△ABP∽△PCD．（不要求證明）

探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠B=∠C=∠APD時(shí)，求證：△ABP∽△PCD．

拓展：如圖③，在△ABC中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=6，CE=4，則DE的長(zhǎng)為　 　．

Answer 1

【答案】感知：見解析；探究：證明見解析；拓展： ．

【解析】

感知：先判斷出，∠BAP=∠DPC，進(jìn)而得出結(jié)論；

探究：同理根據(jù)兩角相等相等，兩三角形相似，進(jìn)而得出結(jié)論；

拓展：利用相似三角形△BDP∽△CPE得出比例式求出BD，三角形內(nèi)角和定理證得AC⊥AB且AC=AB；然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC=AB=6；最后利用在直角△ADE中利用勾股定理來求DE的長(zhǎng)度．

感知：∵∠APD=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∵∠B=90°，

∴∠APB+∠BAP=90°，

∴∠BAP=∠DPC，

∵AB∥CD，∠B=90°，

∴∠C=∠B=90°，

∴△ABP∽△DCP．

探究：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，

∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．

∵∠B=∠APD，

∴∠BAP=∠CPD．

∵∠B=∠C，

∴△ABP∽△PCD，

拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，

∴，

∵點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，

∴BP=CP=3，

∵CE=4，

∴，

∴BD=，

∵∠B=∠C=45°，

∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，

即AC⊥AB且AC=AB=6，

∴AD=AB﹣BD=6﹣=，AE=AC﹣CE=6﹣4=2，

在Rt△ADE中，DE=．

故答案是：．