【題目】如圖,一次函數(shù)y=mx+n(m≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象交于第一、三象限內(nèi)的A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作BM⊥x軸,垂足為點(diǎn)M,BM=OM=2,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4.
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)直線AB交x軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作直線l⊥x軸,如果直線l上存在點(diǎn)P,坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)Q.使四邊形OPAQ是矩形,求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y= ,y=2x+2;(2)存在,(﹣1,)或(﹣1,2+)或(﹣1,2﹣).
【解析】
(1)根據(jù)題意得出B點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得出反比例函數(shù)解析式,再利用待定系數(shù)法得出一次函數(shù)解析式;
(2)設(shè)P(-1,a),如圖1,當(dāng)∠PAO=90°,如圖2,當(dāng)∠APO=90°,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
解:(1)∵BM=OM=2,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,﹣2),
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y= ,
則﹣2=,
得k=4,
∴反比例函數(shù)的解析式為y= ,
∵點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是4,
∴4=,
得x=1,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),
∵一次函數(shù)y=mx+n(m≠0)的圖象過點(diǎn)A(1,4)、點(diǎn)B(﹣2,﹣2),
∴ ,
解得: ,
即一次函數(shù)的解析式為y=2x+2;
(2)存在,
∵直線AB于x軸交于D,
∴D(﹣1,0),
∴OD=1,
設(shè)P(﹣1,a),
如圖1,當(dāng)∠PAO=90°,
∵OP2=PA2+OA2=PD2+OD2,
∴(1+1)2+(4﹣a)2+12+42=12+a2,
解得:a= ,
∴P(﹣1, ),
如圖2,當(dāng)∠APO=90°,
∵OP2=OA2﹣PA2=PD2+OD2,
∴12+42﹣[(1+1)2+(4﹣a)2]=12+a2,
解得:a=2± ,
∴P(﹣1,2+)或(﹣1,2﹣),
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣1,)或(﹣1,2+)或(﹣1,2﹣).
故答案為:(1)y= ,y=2x+2;(2)存在,(﹣1,)或(﹣1,2+)或(﹣1,2﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)(x>0)的圖象交于A(2,﹣1),B(,n)兩點(diǎn),直線y=2與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題探究
(1)如圖①,在正方形ABCD內(nèi),請畫出使∠BPC=90°的所有點(diǎn)P;
(2)如圖②,已知矩形ABCD,AB=9,BC=10,在矩形ABCD內(nèi)(含邊)畫出使∠BPC=60°的所有點(diǎn)P,并求出△APD面積的最大值;
(3)隨著社會發(fā)展,農(nóng)業(yè)觀光園走進(jìn)了我們的生活,某農(nóng)業(yè)觀光園的平面示意圖如圖3所示的四邊形ABCD,其中∠A=120°,∠B=∠C=90°,AB=km,BC=6km,觀光園的設(shè)計(jì)者想在園中找一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C、D所連接的線段將整個觀光園分成四個區(qū)域,用來進(jìn)行不同的設(shè)計(jì)與規(guī)劃,從實(shí)用和美觀的角度他們還要求在△BPC的區(qū)域內(nèi)∠BPC=120°,且△APD的區(qū)域面積最小,試問在四邊形ABCD內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)P,使得∠BPC=120°,且△APD面積最小?若存在,請你在圖中畫出點(diǎn)P點(diǎn)的位置,并求出△APD的最小面積.若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,-5),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),直線l的解析式為y=2x+m.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若拋物線與直線l有兩個公共點(diǎn),求的取值范圍;
(3)若直線l與拋物線只有一個公共點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(4)設(shè)拋物線與軸的交點(diǎn)分別為A、B,求在(3)的條件下△PAB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點(diǎn)都在小方格的格點(diǎn)上.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ;點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ;
(2)以原點(diǎn)O為位似中心,將△ABC縮小,使變換后得到的△A1B1C1與△ABC對應(yīng)邊的比為1:2,請?jiān)诰W(wǎng)格中畫出△A1B1C1;
(3)△A1B1C1的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】元旦期間,某賓館有50個房間供游客居住,當(dāng)每個房間每天的定價為180元時,房間會全部住滿;當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時,就會有一個房間空閑.如果游客居住房間,賓館需對每個房間每天支出20元的各種費(fèi)用.
(1)若房價定為200元時,求賓館每天的利潤;
(2)房價定為多少時,賓館每天的利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,反比例函數(shù)y= 的圖象與一次函數(shù)y=x+b的圖象交
于點(diǎn)A(1,4)、點(diǎn)B(-4,n).
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△OAB的面積;
(3)直接寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】感知:如圖①,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠APD=90°時,可知△ABP∽△PCD.(不要求證明)
探究:如圖②,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在BC邊上,當(dāng)∠B=∠C=∠APD時,求證:△ABP∽△PCD.
拓展:如圖③,在△ABC中,點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=6,CE=4,則DE的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某賓館有50個房間供游客居住,當(dāng)每個房間定價120元時,房間會全部住滿,當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時,就會有一個房間空閑,如果游客居住房間,賓館需對每個房間每天支出20元的各種費(fèi)用,設(shè)每個房間定價為x元(x為整數(shù)).
(1)直接寫出每天游客居住的房間數(shù)量y與x的函數(shù)解析式.
(2)設(shè)賓館每天的利潤為W元,當(dāng)每間房價定價為多少元時,賓館每天所獲利潤最大,最大利潤是多少?
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