Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，連接AC，一個(gè)直角三角形PDE的直角頂點(diǎn)P始終在對角線AC上運(yùn)動（不與A、C重合），且保持一邊PD始終經(jīng)過矩形頂點(diǎn)B，PE交x軸于點(diǎn)Q

（1）＝______；

（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)A的過程中，的值是否發(fā)生變化？如果變化，請求出其變化范圍，如果不變，請說明理由，并求出其值；

（3）若將△QAB沿直線BQ折疊后，點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，則PC的長為_____．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值不發(fā)生變化，＝，理由見解析；（3）2.8．

【解析】

（1）根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可得OA、OC的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB=OC、BC=OA，即可得答案；（2）由∠OAB＝∠BPQ=90°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和可得∠AOB+∠BPQ＝180°，可得A、B、P、Q四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠PQB＝∠PAB，即可證明△PBQ∽△BCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得＝＝，即可得答案；（3）設(shè)BQ交AP于M，利用勾股定理可得AC=10，根據(jù)折疊性質(zhì)可得BQ⊥AP，PM＝AM，即可證明△ABM∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出AM的長，進(jìn)而求出PC的長即可.

（1）∵A（8，0）、C（0，6），

∴OA＝8，OC＝6，

∵四邊形OABC是矩形，

∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，

∴＝＝ ，

故答案為：

（2）的值不發(fā)生變化，＝，理由如下：

∵∠OAB＝∠BPQ＝90°，

∴∠PQA+∠ABP＝180°，

∴A、B、P、Q四點(diǎn)共圓，

∴∠PQB＝∠PAB，

∵∠ABC＝∠BPQ＝90°，

∴△PBQ∽△BCA，

∴＝＝.

∴的值不發(fā)生變化，＝.

（3）設(shè)BQ交AP于M，如圖所示：

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，

由折疊的性質(zhì)得：BQ⊥AP，PM＝AM，

∴∠AMB＝90°＝∠ABC，

∵∠BAM＝∠CAB，

∴△ABM∽△ACB，

∴＝，即＝，

解得：AM＝3.6，

∴PA＝2AM＝7.2，

∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8，

故答案為：2.8