Question

【題目】如圖，A（0，4）是直角坐標(biāo)系 y 軸上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 從原點(diǎn) O 出發(fā)，沿 x 軸正半軸運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，以P為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB．設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒．

（1）若 AB∥x 軸，求 t 的值；

（2）若OP=OA，求B點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）當(dāng) t=3 時(shí)，x 軸上是否存在有一點(diǎn) M，使得以 M、P、A 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) M 的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（6，2）；（3）見(jiàn)解析.

【解析】

由 AB∥x 軸，可找出四邊形 ABCO 為長(zhǎng)方形，再根據(jù)△APB 為等腰三角形可得知∠OAP=45°，從而得出△AOP 為等腰直角三角形，由此得出結(jié)論；

作 BQ⊥x 軸于點(diǎn) Q，證△OAP≌△QPB 得 BQ=OP=OA=2，PQ=AO=4，據(jù)此知 OQ=OP+PQ=6，從而得出答案；

設(shè)點(diǎn) M（x，0），知 MA=，MP=|x-3|，再分 MA=MP，MA=AP， AP=MP 三種情況求解可得．

解：（1）過(guò)點(diǎn) B 作 BC⊥x 軸于點(diǎn) C，如圖 1 所示．

∵AO⊥x 軸，BC⊥x 軸，且 AB∥x 軸，

∴四邊形 ABCO 為長(zhǎng)方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB 為等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°-∠PAB=45°，

∴△AOP 為等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4 （秒）， 故 t 的值為 4．

（2）如圖 2，過(guò)點(diǎn) B 作 BQ⊥x 軸于點(diǎn) Q，

∴∠AOP=∠BQP=90°，

∴∠OAP+∠OPA=90°，

∵△ABP 為等腰直角三角形，

∴PA=PB，∠APB=90°，

∴∠AOP+∠BPQ=90°，

∴∠OAP=∠QPB，

∴△OAP≌△QPB（AAS），

∴ BQ=OP= OA=2，PQ=AO=4，

則 OQ=OP+PQ=6，

∴點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（6，2）；

（3）當(dāng) t=3 時(shí)，即 OP=3，

∵OA=4，

∴AP=5，

設(shè)點(diǎn) M（x，0），

則 MA==，MP=|x-3|，

①當(dāng) MA=MP 時(shí)， =|x-3|，解得

x=- ；

②當(dāng) MA=AP 時(shí)， =5，解得 x=-3 或 x=3（舍）；

③當(dāng) AP=MP 時(shí)，|x-3|=5，解得：x=8 或 x=-2；

綜上，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ ，0）或（-3，0）或（8，0）或（-2，0）