【題目】十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式,被稱為歐拉公式.請你觀察下列幾種簡單的多面體模型,解答下列問題:
(1)根據(jù)上面的多面體模型,完成表格:
多面體 | 頂點(diǎn)數(shù)(V) | 面數(shù)(F) | 棱數(shù)(E) |
四面體 | 4 | 4 | |
正方體 | 8 | 12 | |
正八面體 | 6 | 8 | 12 |
正十二面體 | 20 | 12 | 30 |
可以發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的關(guān)系式是_______________;
(2)若一個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8,且有30條棱,則這個(gè)多面體的面數(shù)是______;
(3)某個(gè)玻璃飾品的外形是簡單多面體,它的外表面是由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成,且有24個(gè)頂點(diǎn),每個(gè)頂點(diǎn)處有3條棱.設(shè)該多面體外表面三角形的個(gè)數(shù)為x,八邊形的個(gè)數(shù)為y,求x+y的值.
【答案】(1)6,6,V+F-E=2 ;(2)20;(3)x+y=F=14
【解析】
(1)從表格觀察發(fā)現(xiàn):頂點(diǎn)數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2;(2)代入(1)中的式子即可得到面數(shù);(3)得到多面體的棱數(shù),求得面數(shù)即為x+y的值.
解:(1)四面體的棱數(shù)為6;正八面體的頂點(diǎn)數(shù)為6;關(guān)系式為:V+F-E=2;
(2)由題意得:F-8+F-30=2,解得F=20;
(3)∵有24個(gè)頂點(diǎn),每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱,兩點(diǎn)確定一條直線;
∴共有24×3÷2=36條棱,
那么24+F-36=2,解得F=14,
∴x+y=14.
故答案為:6,6;E=V+F-2;20;14.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題提出:用水平線和豎直線將平面分成若干個(gè)面積為1的小長方形格子,小長方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn),以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形.設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S,它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為x,多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)為n,S與x,n之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系呢?
(1)問題探究:
如圖1,圖中所示的格點(diǎn)多邊形,其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn),它們的面積與各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和的對應(yīng)關(guān)系如下表,請?zhí)顚懴卤聿懗鯯與x之間的關(guān)系式S= .
多邊形的序號 | ① | ② | ③ | ④ | … |
多邊形的面積S | 2 | 2.5 | 3 | 4 | … |
各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x | 4 | … |
(2)在圖2中所示的格點(diǎn)多邊形,這些多邊形內(nèi)部都有且只有2個(gè)格點(diǎn).探究此時(shí)所畫的各個(gè)多邊形的面積S與它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和x之間的關(guān)系式S= .
(3)請繼續(xù)探索,當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有n(n是正整數(shù))個(gè)格點(diǎn)時(shí),猜想S與x,n之間的關(guān)系式S=(用含有字母x,n的代數(shù)式表示)
(4)問題拓展:
請?jiān)谡切尉W(wǎng)格中的類似問題進(jìn)行探究:在圖3、4中正三角形網(wǎng)格中每個(gè)小正三角形面積為1,小正三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn),以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形,圖是該正三角形格點(diǎn)中的兩個(gè)多邊形.
根據(jù)圖中提供的信息填表:
格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù) | 格點(diǎn)多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù) | 格點(diǎn)多邊形的面積 | |
多邊形1(圖3) | 8 | 1 | 8 |
多邊形2(圖4) | 7 | 3 | 11 |
… | … | … | … |
… | … | … | … |
… | … | … | … |
一般格點(diǎn)多邊形 | a | b | S |
則S與a,b之間的關(guān)系為S=(用含a,b的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,2),點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱,點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),過點(diǎn)P作x軸的垂線l,交拋物線于點(diǎn)Q.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求直線BD的解析式;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線l交BD于點(diǎn)M,是否存在點(diǎn)P,使得四邊形CQMD是平行四邊形?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),DA=8,BD=10,CD=6,則∠ADC的度數(shù)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A(0,4)是直角坐標(biāo)系 y 軸上一點(diǎn),動(dòng)點(diǎn) P 從原點(diǎn) O 出發(fā),沿 x 軸正半軸運(yùn)動(dòng),速度為每秒 1 個(gè)單位長度,以P為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt△APB.設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒.
(1)若 AB∥x 軸,求 t 的值;
(2)若OP=OA,求B點(diǎn)的坐標(biāo).
(3)當(dāng) t=3 時(shí),x 軸上是否存在有一點(diǎn) M,使得以 M、P、A 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,請直接寫出點(diǎn) M 的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,6),B(8,0),AB=10,如圖作∠DBO=∠ABO,∠CAy=∠BAO,BD交y軸于點(diǎn)E,直線DO交AC于點(diǎn)C.
(1)①求證:△ACO≌△EDO;②求出線段AC、BD的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系;
(2)動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),沿A﹣O﹣B路線運(yùn)動(dòng),速度為1,到B點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從B出發(fā),沿B﹣O﹣A運(yùn)動(dòng),速度為2,到A點(diǎn)處停止運(yùn)動(dòng).二者同時(shí)開始運(yùn)動(dòng),都要到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)才能停止.在某時(shí)刻,作PE⊥CD于點(diǎn)E,QF⊥CD于點(diǎn)F.問兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多長時(shí)間時(shí)△OPE與△OQF全等?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,射線AM平分∠BAC,AB=8,cos∠ACB= ,點(diǎn)P為射線AM上一點(diǎn),且PB=PC,則四邊形ABPC的面積為 .
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