Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求該拋物線的對稱軸以及頂點坐標(biāo)；
（3）設(shè)（1）中的拋物線上有一個動點P，當(dāng)點P在該拋物線上滑動到什么位置時，滿足S_△PAB=8，并求出此時P點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征

專題：

分析：（1）由于拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，那么可以得到方程x²+bx+c=0的兩根為x=-1或x=3，然后利用根與系數(shù)即可確定b、c的值．
（2）根據(jù)S_△PAB=8，求得P的縱坐標(biāo)，把縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可求得P點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，
∴方程x²+bx+c=0的兩根為x=-1或x=3，
∴-1+3=-b，
-1×3=c，
∴b=-2，c=-3，
∴二次函數(shù)解析式是y=x²-2x-3．
（2）∵y=-x²-2x+3=（x-1）²-4，
∴拋物線的對稱軸x=1，頂點坐標(biāo)（1，-4）．
（3）設(shè)P的縱坐標(biāo)為|y_P|，
∵S_△PAB=8，
∴

1

2

AB•|y_P|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|y_P|=4，
∴y_P=±4，
把y_P=4代入解析式得，4=x²-2x-3，
解得，x=1±2

2

，
把y_P=-4代入解析式得，-4=x²-2x-3，
解得，x=1，
∴點P在該拋物線上滑動到（1+2

2

，4）或（1-2

2

，4）或（1，-4）時，滿足S_△PAB=8．

點評：此題主要考查了利用拋物線與x軸的交點坐標(biāo)確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對稱軸點的坐標(biāo)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法得到關(guān)于b、c的方程，解方程即可解決問題．