Question

已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如圖）．E是射線BC上的動點（點E與點B不重合），M是線段DE的中點．

（1）設BE=x，△ABM的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出函數的定義域；
（2）如果以線段AB為直徑的圓與以線段DE為直徑的圓外切，求線段BE的長；
（3）聯結BD，交線段AM于點N，如果以A、N、D為頂點的三角形與△BME相似，求線段BE的長．

Answer 1

（1）取中點，聯結，
為的中點，，．
又，．
∵，得；
（2）由已知得．
以線段AB為直徑的圓與以線段DE為直徑的圓外切，
，            
即． 
解得，即線段的長為；
（3）由已知，以為頂點的三角形與相似，
又易證得．
由此可知，另一對對應角相等有兩種情況：
①；②．
①當時，，
．．
，易得．得； 
②當時，，
．
．又，
．
，即，              
得．
解得，（舍去）．即線段BE的長為2．   
綜上所述，所求線段BE的長為8或2．

（1）△ABM中，已知了AB的長，要求面積就必須求出M到AB的距離，如果連接AB的中點和M，那么這條線就是直角梯形的中位線也是三角形ABM的高，那么AB邊上的高就是（AD+BE）的一半，然后根據三角形的面積公式即可得出y，x的函數關系式；
（2）根據以AB，DE為直徑的圓外切，那么可得出的是AD+BC=AB+DE，那么可根據BE，AD的差和AB的長，用勾股定理來表示出DE，然后根據上面分析的等量關系得出關于x的方程，即可求出x的值，即BE的長；
（3）如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因為AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意．因此本題分兩種情況進行討論：
①當∠ADN=∠BME時，∠DBE=∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出關于DE，BE，EM的比例關系式，即可求出x的值．
②當∠AND=∠BEM時，∠ADB=∠BEM，可根據這兩個角的正切值求出x的值．