Question

如圖所示，矩形ABCD中，AD=8厘米，AB=6厘米，O為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上一動點(diǎn)，PO的延長線交BC于Q．若P從點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運(yùn)動（不與D重合）．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動時間為t秒，
（2）求證：OP=OQ；
（2）求當(dāng)四邊形PBQD是菱形時的t值和PQ的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：動點(diǎn)型

分析：（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得OB=OD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ADB=∠CBD，然后利用“角邊角”證明△BOQ和△DOP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；
（2）根據(jù)菱形的四條邊都相等可得BP=DP，然后表示出AP、BP，在Rt△ABP中，利用勾股定理列出方程求出t，再利用勾股定理列式求出BD，并求出OB，然后利用勾股定理列式求出PO，再根據(jù)菱形的對角線互相平分可得PQ=2PO．

解答：（1）證明：∵O為BD的中點(diǎn)，
∴OB=OD，
∵矩形對邊AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在△BOQ和△DOP中，

∠ADB=∠CBD OB=OD ∠DOP=∠BOQ

，
∴△BOQ≌△DOP（ASA），
∴OP=OQ；

（2）解：∵四邊形PBQD是菱形，
∴BP=DP，
∵P從點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運(yùn)動，
∴AP=t，BP=DP=8-t，
在Rt△ABP中，AB²+AP²=BP²，
即6²+t²=（8-t）²，
解得t=

7

4

，
∵AD=8厘米，AB=6厘，
∴BD=

62+82

=10cm，
∴OB=5cm，
∵四邊形PBQD是菱形，
∴BD⊥PQ，
∴PO=

BP2-OB2

=

(8- 7 4 )2-52

=

15

4

，
∴PQ=2PO=

15

2

，
故當(dāng)四邊形PBQD是菱形時的t=

7

4

秒，PQ=

15

2

．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．