Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延長AB至點D，使DB=AB，連接CD，以CD為直角邊作等腰直角三角形CDE，其中∠DCE=90°，連接BE．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）若AC=3，求BE的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）首先證明∠DCB=∠ECA，然后利用SAS即可證明兩個三角形全等；
（2）首先證明∠BAE=90°，則△ABE是等腰直角三角形，則利用勾股定理即可求解．

解答：（1）證明：∵∠DCE=∠BCA=90°，
∴∠DCB=∠ECA，
則在△ACE和△BCD中，

CD=CE ∠DCB=∠ECA CB=CA

，
∴△ACE≌△BCD；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=

2

AB=3

2

，∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠CBD=135°，
∵△ACE≌△BCD，
∴BD=AE=AB=3

2

，∠CAE=∠CBD=135°，
∴∠BAE=135°-45°=90°．
∴△ABE是等腰直角三角形．
∴BE=

2

AB=

2

×3

2

=6．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質以及勾股定理的應用，正確證明△ABE是等腰直角三角形是關鍵．