Question

點P（m，n）是反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）圖象上的動點，PA∥x軸，PB∥y軸，分別交反比例函數(shù)（x＞0）的圖象于點A、B，點C是直線y=2x上的一點． 
（1）請用含m的代數(shù)式分別表示P、A、B三點的坐標； 
（2）在點P運動過程中，連結AB，△PAB的面積是否變化？若不變，請求出△PAB的面積；若改變，請說明理由； 
（3）在點P運動過程中，以點P、A、C、B為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請求出此時的m值；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征來求P、A、B三點的坐標； 
（2）根據(jù)三角形的面積公式求得△PAB的面積=

3

4

，為定值；
（3）根據(jù)圖示，四邊形PBCA為平行四邊形．根據(jù)“平行四邊形的對邊相互平行的性質(zhì)”可以求得m的值．

解答：解：（1）∵點P（m，n）是反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）圖象上的動點，
∴n=

6

m

，
∴P（m，

6

m

）．
∵PA∥x軸，
∴點A、P的縱坐標相同，故將A點縱坐標y=

6

m

代入y=

3

x

（x＞0），得
x=

m

2

，
∴A（

m

2

，

6

m

）．
同理可得B（m，

3

m

）；

（2）由（1）知，P（m，

6

m

），A（

m

2

，

6

m

），B（m，

3

m

）．
∵PA∥x軸，PB∥y軸，
∴PA=m-

m

2

=

m

2

，PB=|

6

m

-

3

m

|=

3

m

，
∴△PAB的面積=

1

2

×PA×PB=

1

2

×

m

2

×

3

m

=

3

4

；

（3）若PBAC為平行四邊形，則有AC∥PB∥y軸，AP∥BC∥y軸．則
點C（

m

2

，

3

m

），
代入y=2x，得

3

m

=2×

m

2

，
解得，m=

3

或m=-

3

（舍去）．
當PA∥AB，PA=AB時，可得m=3或1．
綜上：m=

3

，3或1時，PBCA為平行四邊形．

點評：本題綜合考查了三角形的面積公式，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)綜合題．解答（3）題時，根據(jù)圖形可以判定四邊形PBCA為平行四邊形．可見，利用形數(shù)結合解決此類問題，是非常有效的方法．