Question

17．在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB=5，AC=8（如圖），如果點E在對角線AC上，且DE=4．
（1）求AE的長；
（2）設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{c}$，試用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$、$\overrightarrow{c}$表示下列向量：$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$．

Answer 1

分析 （1）分兩種情形，當(dāng)點E在OA上時，當(dāng)點E′在OC上時，分別求出AE和AE′即可．
（2）根據(jù)向量的定義計算即可．

解答 解：（1）如圖，當(dāng)點E在OA上時，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=4，OD=OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
EO=$\sqrt{D{E}^{2}-D{O}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AE=OA-EO=4-$\sqrt{7}$，
當(dāng)點E′在OC上時，AE′=OA+OE′=4+$\sqrt{7}$，
∴AE的長為4+$\sqrt{7}$和4-$\sqrt{7}$．

（2）∵$\overrightarrow{CO}$=$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{BC}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）．
∵$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=-（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）+$\overrightarrow{c}$．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，注意不能漏解，直徑平面向量的定義，屬于中考常考題型．