9.如圖,己知點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點B出發(fā),沿著BC邊向點C方向運動,到點P與C點重合時停止,連接AP并以AP為直角邊在AP右側(cè)作等腰直角△APQ,其中∠APQ=90°,則在運動過程中,點Q所經(jīng)過的路程長為(  )
A.$\sqrt{2}$B.2C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$πD.$\frac{\sqrt{2}}{3}$π

分析 如圖,延長AD到M,使得DM=AD,連接CM,則點Q運動軌跡是線段CM.只要證明△ABP≌△PNQ,CN=QN即可解決問題.

解答 解:如圖,延長AD到M,使得DM=AD,連接CM,則點Q運動軌跡是線段CM.

作QN⊥BC于N,
∵PA=PQ,∠APQ=90°,
∴∠APB+∠QPN=90°,∠QPN+∠PQN=90°,
∴∠APB=∠PQN,
在△ABP和△PNQ中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠PNQ=90°}\\{∠APB=∠PQN}\\{AP=PQ}\end{array}\right.$,
∴△ABP≌△PNQ,
∴AB=PN=BC,PB=NQ,
∴PB=CN=QN,
∴∠QCN=45°,
∴點Q在線段CM上,點Q的運動軌跡是線段CM,
CM=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$.
故選A.

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、軌跡等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形,屬于中考常考題型.

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