【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線分別交x軸、y軸于點B,C,正方形AOCD的頂點D在第二象限內(nèi),E是BC中點,OF⊥DE于點F,連結OE,動點P在AO上從點A向終點O勻速運動,同時,動點Q在直線BC上從某點Q1向終點Q2勻速運動,它們同時到達終點.
(1)求點B的坐標和OE的長;
(2)設點Q2為(m,n),當tan∠EOF時,求點Q2的坐標;
(3)根據(jù)(2)的條件,當點P運動到AO中點時,點Q恰好與點C重合.
①延長AD交直線BC于點Q3,當點Q在線段Q2Q3上時,設Q3Q=s,AP=t,求s關于t的函數(shù)表達式.
②當PQ與△OEF的一邊平行時,求所有滿足條件的AP的長.
【答案】(1)(8,0),;(2)(6,1);(3)①,②的長為或.
【解析】
(1)令y=0,可得B的坐標,利用勾股定理可得BC的長,即可得到OE;
(2)如圖,作輔助線,證明△CDN∽△MEN,得CN=MN=1,計算EN的長,根據(jù)面積法可得OF的長,利用勾股定理得OF的長,由和,可得結論;
(3)①先設s關于t成一次函數(shù)關系,設s=kt+b,根據(jù)當點P運動到AO中點時,點Q恰好與點C重合,得t=2時,CD=4,DQ3=2,s=,根據(jù)Q3(4,6),Q2(6,1),可得t=4時,s=,利用待定系數(shù)法可得s關于t的函數(shù)表達式;
②分三種情況:
(i)當PQ∥OE時,根據(jù),表示BH的長,根據(jù)AB=12,列方程可得t的值;
(ii)當PQ∥OF時,根據(jù)tan∠HPQ=tan∠CDN=,列方程為2t2= (7t),可得t的值.
(iii)由圖形可知PQ不可能與EF平行.
解:(1)令,則,
∴,
∴為.
∵
在中,.
又∵為中點,∴.
(2)如圖,作于點,則,
∴,
∴,
∴,
∴.
∵,
∴,
由勾股定理得,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴為.
(3)①∵動點同時作勻速直線運動,
∴關于成一次函數(shù)關系,設,
將和代入得,解得,
∴.
②(ⅰ)當時,(如圖),,
作軸于點,則.
∵,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
(ⅱ)當時(如圖),過點作于點,過點作于點,由得.
∵,
∴,
∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴.
(ⅲ)由圖形可知不可能與平行.
綜上所述,當與的一邊平行時,的長為或.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(2,2),B(4,0),C(4,-4).
(1)請在圖中畫出△ABC向左平移6個單位長度后得到的△A1B1C1;
(2)以點O為位似中心,將△ABC縮小為原來的,得到△A2B2C2,請在圖中y軸右側畫出△A2B2C2,;
(3)填空:△AA1A2的面積為________________.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,點D是BC的中點,點E是邊AB上一動點,沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于點F.若△AB′F為直角三角形,則AE的長為_____.
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【題目】(發(fā)現(xiàn)問題)愛好數(shù)學的小明在做作業(yè)時碰到這樣的一道題目:
如圖①,點O為坐標原點,⊙O的半徑為1,點A(2,0).動點B在⊙O上,連結AB,作等邊△ABC(A,B,C為順時針順序),求OC的最大值
(解決問題)小明經(jīng)過多次的嘗試與探索,終于得到解題思路:在圖①中,連接OB,以OB為邊在OB的左側作等邊三角形BOE,連接AE.
(1)請你找出圖中與OC相等的線段,并說明理由;
(2)求線段OC的最大值.
(靈活運用)
(3)如圖②,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(2,0),點B的坐標為(5,0),點P為線段AB外一動點,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,求線段AM長的最大值及此時點P的坐標.
(遷移拓展)
(4)如圖③,BC=4,點D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點,以BD為邊作等邊△ABD,請直接寫出AC的最值.
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【題目】“七巧板”是我們祖先的一項卓越創(chuàng)造,可以拼出許多有趣的圖形,被譽為“東方魔板”,圖①是由邊長的正方形薄板分成7塊制作成的“七巧板”圖②是用該“七巧板”拼成的一個“家”的圖形,該“七巧板”中7塊圖形之一的正方形邊長為_______(結果保留根號).
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【題目】如圖,點A1、A3、A5…在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,點A2、A4、A6……在反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象上,∠OA1A2=∠A1A2A3=∠A2A3A4=…=∠α=60°,且OA1=2,則An(n為正整數(shù))的縱坐標為________________________________.(用含n的式子表示)
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【題目】在△ABC中,∠ABC為銳角,點M為射線AB上一動點,連接CM,以點C為直角頂點,以CM為直角邊在CM右側作等腰直角三角形CMN,連接NB.
(1)如圖1,圖2,若△ABC為等腰直角三角形,
問題初現(xiàn):①當點M為線段AB上不與點A重合的一個動點,則線段BN,AM之間的位置關系是 ,數(shù)量關系是 ;
深入探究:②當點M在線段AB的延長線上時,判斷線段BN,AM之間的位置關系和數(shù)量關系,并說明理由;
(2)如圖3,∠ACB≠90°,若當點M為線段AB上不與點A重合的一個動點,MP⊥CM交線段BN于點P,且∠CBA=45°,BC=,當BM= 時,BP的最大值為 .
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【題目】如圖,在ABCD中,CG⊥AB于點G,∠ABF=45°,F在CD上,BF交CG于點E,連接AE,且AE⊥AD.
(1)若BG=2,BC=,求EF的長度;
(2)求證:CE+BE=AB.
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【題目】某校共有200名學生,為了解本學期學生參加公益勞動的情況,收集了他們參加公益勞動時間(單位:小時)等數(shù)據(jù),以下是根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖表的一部分.
學 生 類 型 人數(shù) 時間 | ||||||
性別 | 男 | 7 | 31 | 25 | 30 | 4 |
女 | 8 | 29 | 26 | 32 | 8 | |
學段 | 初中 | 25 | 36 | 44 | 11 | |
高中 |
下面有四個推斷:
①這200名學生參加公益勞動時間的平均數(shù)一定在24.5-25.5之間
②這200名學生參加公益勞動時間的中位數(shù)在20-30之間
③這200名學生中的初中生參加公益勞動時間的中位數(shù)一定在20-30之間
④這200名學生中的高中生參加公益勞動時間的中位數(shù)可能在20-30之間
所有合理推斷的序號是( )
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①②③④
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