Question

在平面直角坐標系中，B（1，0）、A（3，-3）、C（3，0），點P在y軸的正半軸上運動，若以O、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，則點P的坐標為

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定,坐標與圖形性質(zhì)

專題：計算題

分析：利用點A、B、C的坐標特征得到∠ACB=90°，CB=2，CA=3，設P點坐標為（0，t），由于∠POB=∠ACB，根據(jù)兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，當

OP

BC

=

OB

CA

時，△OPB∽△CBA，即

|t|

2

=

1

3

或當

OP

CA

=

OB

CB

時，△OPB∽△CAB，即

|t|

3

=

1

2

，然后分別求出t的值，從而得到P點坐標．

解答：解：∵B（1，0）、A（3，-3）、C（3，0），
∴∠ACB=90°，CB=2，CA=3，
設P點坐標為（0，t），
∵∠POB=∠ACB=90°，
∴當

OP

BC

=

OB

CA

時，△OPB∽△CBA，即

|t|

2

=

1

3

，解得t=±

2

3

，此時P點坐標為（0，

2

3

）或（0，-

2

3

）；
當

OP

CA

=

OB

CB

時，△OPB∽△CAB，即

|t|

3

=

1

2

，解得t=±

3

2

，此時P點坐標為（0，

3

2

）或（0，-

3

2

），
綜上所述，若以O、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，則點P的坐標為（0，

2

3

）或（0，-

2

3

）或（0，

3

2

）或（0，-

3

2

）．
故答案為（0，

2

3

）或（0，-

2

3

）或（0，

3

2

）或（0，-

3

2

）．

點評：本題考查了相似三角形的判定：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似．