Question

如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點O作OD⊥AC于D．下列四個結(jié)論：
①以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切；
②∠BOC=90°+

1

2

∠A；
③EF不能成為△ABC的中位線；
④設(shè)OD=m，AE+AF=n，則S_△AEF=mn．
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A、①②③
• B、①②④
• C、②③④
• D、①③④

Answer 1

考點：三角形中位線定理,圓與圓的位置關(guān)系

專題：

分析：根據(jù)角平分線的定義可得∠OBC=∠OBE，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠OBC=∠BOE，從而得到∠OBE=∠BOE，再根據(jù)等角對等邊可得OE=BE，同理可得OF=CF，然后根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷①正確；根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理表示出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可判斷②正確；根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點O到BC的距離等于點O到AC的距離OD，再根據(jù)垂線段最短可得OD＜OA，從而得到點O不在△ABC的中位線上，即EF不能成為△ABC的中位線，判斷出③正確；根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得點O到AB、AC的距離相等，都是m，再利用三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：∵BO是∠ABC的平分線，
∴∠OBC=∠OBE，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠BOE，
∴∠OBE=∠BOE，
∴OE=BE，
同理可得OF=CF，
∴以E為圓心、BE為半徑的圓與以F為圓心、CF為半徑的圓外切，故①正確；
∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=

1

2

（180°-∠A），
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，故②正確；
∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴點O到BC的距離等于點O到AC的距離OD，
又由垂線段最短可得OD＜OA，
∴點O不在△ABC的中位線上，
即EF不能成為△ABC的中位線，故③正確；
∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，
∴點O到AB、AC的距離相等，都是OD=m，
∴S_△AEF=

1

2

AE•m+

1

2

AF•m=

1

2

mn，故④錯誤；
綜上所述，結(jié)論正確的是①②③．
故選A．

點評：本題考查了三角形的中位線，圓與圓的位置關(guān)系，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，垂線段最短，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．