Question

如圖1，Rt△ABC≌Rt△ADC，∠B=∠D=90°．
（1）如圖2，在Rt△ABC與Rt△ADC中，∠B=∠D=90°，你認(rèn)為是A、B、C、D否會(huì)在同一個(gè)圓上呢？如果在，請(qǐng)說明并畫出這個(gè)圓，若不能，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由；
（2）圖1中∠BAC=∠DAC=30°，AC=m，求BD；
（3）圖2中點(diǎn)B、D位置變化過程中，∠BAC+∠DAC=60°，BD的長(zhǎng)是否隨B、D的運(yùn)動(dòng)而變化？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）如圖2，作輔助線；證明OA=OB=OC=OD；即可解決問題．
（2）如圖1，作輔助線；證明△ABD為等邊三角形；求出AB的長(zhǎng)度，即可解決問題．
（3）如圖2，作輔助線；求出BE的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到BD=2BE，即可解決問題．

解答：解：（1）A、B、C、D會(huì)在同一個(gè)圓上；理由如下：
如圖2，取AC的中點(diǎn)O；連接OB、OD；
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴OB=OD=

1

2

AC，OA=OB=OC=OD；
∴A、B、C、D在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓上．
（2）如圖1，連接BD；
∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴AB=AD；而∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°，
∴△ABD為等邊三角形；
∵cos∠BAC=

AB

AC

，
∴AB=

3

2

AC=

3

2

m．
∴BD=AB=

3

2

m．
（3）BD的長(zhǎng)度不會(huì)變化；理由如下：
如圖2，過點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E；
則BE=DE；∠BOD=2∠BAD=120°；
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=30°，
∴BE=

3

2

OB=

3

2

×

1

2

m，
∴BD=2BE=

3

2

m．
∴BD的長(zhǎng)度不會(huì)變化，為常數(shù)

3

2

m．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用、直角三角形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)問題；應(yīng)牢固掌握全等三角形的判定及其性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．