Question

已知A，B，C，D是⊙O上的四個點．
（1）如圖1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求證：AC⊥BD；
（2）如圖2，若AC⊥BD，垂足為E，AB=2，DC=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)題意不難證明四邊形ABCD是正方形，結(jié)論可以得到證明；
（2）連結(jié)DO，延長交圓O于F，連結(jié)CF、BF．根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得∠DCF=∠DBF=90°，則BF∥AC，根據(jù)平行弦所夾的弧相等，得弧CF=弧AB，則CF=AB．根據(jù)勾股定理即可求解．

解答：解：（1）∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴AC、BD是⊙O的直徑，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∵AD=CD，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD；

（2）連結(jié)DO，延長交圓O于F，連結(jié)CF、BF．
∵DF是直徑，
∴∠DCF=∠DBF=90°，
∴FB⊥DB，
又∵AC⊥BD，
∴BF∥AC，
∴CF=AB．
根據(jù)勾股定理，得
CF²+DC²=AB²+DC²=DF²=20，
∴DF=2

5

，
∴OD=

5

，即⊙O的半徑為

5

．

點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論、垂徑定理的推論、等弧對等弦以及勾股定理．學(xué)會作輔助線是解題的關(guān)鍵．